第二章 函数、导数及其应用第三节 函数的奇偶性与周期性课时规范练A组——基础对点练1．(2020·邯郸模拟)已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－2)＝( )A．－3 B．－C.D．3解析：由f(x)为R上的奇函数，知f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，则f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.答案：A2．(2020·滨州二模)下列函数中，既是偶函数又在区间(1，2)内单调递减的是( )A．f(x)＝B．f(x)＝C．f(x)＝2x＋2－xD．f(x)＝－cosx解析：对于A，偶函数与单调递减均不满足；对于B，f(x)＝是偶函数，又是(1，2)上的减函数，符合题意；对于C，不满足单调递减；对于D，不满足单调递减．答案：B3．(2020·抚顺模拟)已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0，2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝( )A．2B．－2C．－98D．98解析：因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝4.又f(x)在R上是奇函数，所以f(7)＝f(8－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.答案：B4．函数f(x)＝lg|sinx|是( )A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为2π的偶函数解析：∵f(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|sinx|，∴函数f(x)为偶函数．\n∵f(x＋π)＝lg|sin(x＋π)|＝lg|sinx|，∴函数f(x)的周期为π.故选C.答案：C5．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x－7x＋2b(b为常数)，则f(－2)＝( )A．6B．－6C．4D．－4答案：A6．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A．y＝lnxB．y＝x2＋1C．y＝sinxD．y＝cosx解析：A项中的函数是非奇非偶函数；B项中的函数是偶函数但不存在零点；C项中的函数是奇函数；D项中的函数既是偶函数又存在零点．答案：D7．设f(x)＝x＋sinx(x∈R)，则下列说法错误的是( )A．f(x)是奇函数B．f(x)在R上单调递增C．f(x)的值域为RD．f(x)是周期函数解析：因为f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－(x＋sinx)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确；因为f′(x)＝1＋cosx≥0，所以函数f(x)在R上单调递增，故B正确；因为f(x)在R上单调递增，所以f(x)的值域为R，故C正确；f(x)不是周期函数，故选D.答案：D8．f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，则当x＜0时，f(x)＝( )A．－x3－ln(1－x)B．x3＋ln(1－x)C．x3－ln(1－x)D．－x3＋ln(1－x)解析：当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)3＋ln(1－x)，∵f(x)是R上的奇函数，∴当x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋ln(1－x)]＝x3－ln(1－x)．答案：C9．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，求f(919)的值．解析：∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f(x)的周期为6，∵919＝153×6＋1，∴f(919)＝f(1)．又f(x)为偶函数，∴f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.10．已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，求不等式f(x－2)≥0的解集．\n解析：由已知可得x－2≥1或x－2≤－1，解得x≥3或x≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．B组——素养提升练11．若f(x)＝ex－ae－x为奇函数，则f(x－1)＜e－的解集为( )A．(－∞，2)B．(－∞，1)C．(2，＋∞)D．(1，＋∞)解析：因为f(x)＝ex－ae－x为奇函数，所以f(0)＝1－a＝0，即a＝1，则f(x)＝ex－e－x在R上单调递增，且f(1)＝e－.则由f(x－1)＜e－，得f(x－1)＜f(1)，即x－1＜1，解得x＜2，所以不等式f(x－1)＜e－的解集为(－∞，2)．故选A.答案：A12．(2020·衡水调研)已知函数f(x)＝若f(－a)＋f(a)≤2f(1)，则a的取值范围是( )A．[－1，0)B．[0，1]C．[－1，1]D．[－2，2]解析：由题意可知f(x)是偶函数，故f(－a)＝f(a)，原不等式等价于f(a)≤f(1)，即f(|a|)≤f(1)，而函数在[0，＋∞)上单调递增，故|a|≤1，解得－1≤a≤1.答案：C13．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是( )A.B．C.D．解析：法一：偶函数满足f(x)＝f(|x|)，根据这个结论，有f(2x－1)＜f⇔f(|2x－1|)＜f，\n进而转化为不等式|2x－1|＜，解这个不等式即得x的取值范围是.故选A.法二：设2x－1＝t，若f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则f(x)在(－∞，0)上单调递减，如图，∴f(t)＜f，有－＜t＜，即－＜2x－1＜，∴＜x＜，故选A.答案：A14．若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为( )A．(－∞，－1)B．(－1，0)C．(0，1)D．(1，＋∞)解析：f(－x)＝＝，由f(－x)＝－f(x)得＝－，即1－a·2x＝－2x＋a，化简得a·(1＋2x)＝1＋2x，所以a＝1，f(x)＝.由f(x)>3得0<x<1.故选C.答案：C15．已知y＝f(x＋1)＋2是定义域为R的奇函数，求f(e)＋f(2－e)的值．解析y＝f(x＋1)＋2的图像关于原点(0，0)对称，y＝f(x)是由y＝f(x＋1)＋2的图像向右平移1个单位、向下平移2个单位得到的，则y＝f(x)的图像关于点(1，－2)对称，则f(e)＋f(2－e)＝－4.16．函数f(x)＝ex＋3x(x∈R)可表示为奇函数h(x)与偶函数g(x)的和，求g(0)的值．解析：由题意可知h(x)＋g(x)＝ex＋3x①，用－x代替x得h(－x)＋g(－x)＝e－x－3x，因为h(x)为奇函数，g(x)为偶函数，所以－h(x)＋g(x)＝e－x－3x②.由(①＋②)÷2得g(x)＝，所以g(0)＝＝1.
