课时规范练56 极坐标方程与参数方程的应用 基础巩固组1.(2020广东珠海三模,22)在平面直角坐标系中,直线l过点P(3,2),且倾斜角α=π6,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ.(1)求圆C的直角坐标方程;(2)设直线l与圆C交于A,B两点,求|PA|+|PB|的值.2.在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为x=tcosα,y=tsinα(t为参数,0≤α<π).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2-4=4ρcosθ-2ρsinθ.(1)写出曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,且AB的长度为25,求直线l的普通方程.\n3.(2020湖南郴州二模,文22)在平面直角坐标系中,已知曲线C的参数方程为x=1+2cosφ,y=1+2sinφ(φ为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l1的极坐标方程为θ=α-π6≤α≤π6,射线l2的极坐标方程为θ=α+π2.(1)写出曲线C的极坐标方程,并指出是何种曲线;(2)若射线l1与曲线C交于O,A两点,射线l2与曲线C交于O,B两点,求△ABO面积的取值范围.4.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=1+tcosα,y=tsinα(其中t为参数,0<α<π).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ.(1)求l和C的直角坐标方程;(2)若l与C相交于A,B两点,且|AB|=8,求α.综合提升组5.(2020山西太原二模,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=tt+1,y=2t+1t+1(t为参数),曲线C2的参数方程为x=2+2cosα,y=2sinα(α为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程;(2)射线θ1=β0<β<π2与曲线C2交于O,P两点,射线θ2=π2+β与曲线C1交于点Q,若△OPQ的面积为1,求|OP|的值.\n创新应用组6.(2020湖南湘潭三模,22)已知在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=2-t,y=1+t(t为参数),曲线C1的方程为x2+y2-x=0,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l和曲线C1的极坐标系方程;(2)曲线C2:θ=αρ>0,0<α<π2分别交直线l和曲线C1于点M,N,求3|OM|+|ON|的最大值.7.(2021安徽皖豫名校联考,理22)已知在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=3tanφ,y=2cosφ(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2ρcosθ+π3=6.(1)求曲线C1的普通方程以及曲线C2的直角坐标方程;(2)若曲线C1,C2交于M,N两点,P(6,0),求1|PM|+1|PN|的值.\n8.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的方程为(x-23)2+(y+1)2=16,直线l的参数方程为x=3t,y=t(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.(1)求直线l和曲线C的极坐标方程;(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,求|AB|的值.9.(2020湖南衡阳一模,文22)心形线是由一个圆上的一个定点,当该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时,这个定点的轨迹,因其形状像心形而得名.如图,在极坐标系Ox中,方程ρ=a(1-sinθ)(a>0)表示的曲线C1就是一条心形线,在以极轴Ox所在直线为x轴,极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中,已知曲线C2的参数方程为x=1+33t,y=3+t(t为参数).(1)求曲线C2的极坐标方程;(2)若曲线C1与C2相交于A,O,B三点,求线段AB的长.\n10.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1:x2+y2-x=0,C2:x2+y2-2y=0.(1)以过原点的直线的倾斜角θ为参数,写出曲线C1的参数方程;(2)直线l过原点,且与曲线C1,C2分别交于A,B两点(A,B不是原点),求|AB|的最大值.参考答案课时规范练56 极坐标方程与参数方程的应用1.解(1)由ρ=4sinθ得ρ2=4ρsinθ,从而有x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4.(2)由题意设直线l的参数方程为x=3+tcosπ6,y=2+tsinπ6,即x=3+32t,y=2+12t(t为参数),代入圆的方程得3+32t2+12t2=4,整理得t2+33t+5=0,t1+t2=-33,t1t2=5,由t1+t2<0且t1t2>0,可知|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=-(t1+t2)=33.2.解(1)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入曲线C极坐标方程得,曲线C的直角坐标方程为x2+y2-4=4x-2y,即(x-2)2+(y+1)2=9.(2)将直线的参数方程代入曲线方程(tcosα-2)2+(tsinα+1)2=9,整理得t2-4tcosα+2tsinα-4=0,\n设点A,B对应的参数为t1,t2,则t1+t2=4cosα-2sinα,t1t2=-4.则|AB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=(4cosα-2sin)2+16=25,化简得3cos2α-4sinαcosα=0,由0≤α<π,得α=π2或tanα=34,直线l的普通方程为y=34x或x=0.3.解(1)将x=1+2cosφ,y=1+2sinφ(φ为参数),化为普通方程为(x-1)2+(y-1)2=2,化为极坐标方程为(ρcosθ-1)2+(ρsinθ-1)2=2,整理得ρ=2cosθ+2sinθ,曲线C是以(1,1)为圆心,2为半径的圆.(2)令ρ1=|OA|=2cosα+2sinα,ρ2=|OB|=2cosα+π2+2sinα+π2=-2sinα+2cosα,S△OAB=12ρ1ρ2=2(cos2α-sin2α)=2cos2α.∵-π6≤α≤π6,∴-π3≤2α≤π3,∴12≤cos2α≤1,∴1≤2cos2α≤2.∴△ABO面积的取值范围为[1,2].4.解(1)当α=π2时,l:x=1;当α≠π2时,l:y=tanα(x-1).由ρsin2θ=4cosθ得ρ2sin2θ=4ρcosθ,所以C的直角坐标方程y2=4x.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得(sin2α)t2-(4cosα)t-4=0,则t1+t2=4cosαsin2α,t1t2=-4sin2α.因为|AB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=4sin2α=8,所以sinα=22或-22.因为0<α<π,所以sinα=22,故α=π4或3π4.5.解(1)由x=tt+1,y=2t+1t+1消去参数t得曲线C1普通方程为x-y+1=0.由x=2+2cosα,y=2sinα消去参数α得曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-4x=0,得曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ.(2)由ρ=4cosθ得点P坐标为(4cosβ,β)0<β<π2.又直线x-y+1=0的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ+1=0,得点Q1cosβ+sinβ,π2+β,∴S△OPQ=12·4cosβ·1cosβ+sinβ=1.∴cosβ=sinβ,β=π4.∴|OP|=4cosβ=22.\n6.解(1)由题可知,直线l的普通方程为x+y-3=0,则直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ-3=0.曲线C1的普通方程为x2+y2=x,因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C1的极坐标方程为ρ=cosθ.(2)直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ-3=0,令θ=α,则ρ=3cosα+sinα=|OM|,所以3|OM|=cosα+sinα.又|ON|=cosα,所以3|OM|+|ON|=sinα+2cosα=5sin(α+φ)(tanφ=2).因为0<α<π2,所以3|OM|+|ON|的最大值为5.7.解(1)因为曲线C1的参数方程为x=3tanφ,y=2cosφ(φ为参数),所以x3=tanφ,y2=1cosφ,则x23=sin2φcos2φ,y22=1cos2φ,两式相减可得,曲线C1的普通方程为y22-x23=1.因为曲线C2:2ρcosθ+π3=6,故2ρcosθ·12-sinθ·32=6.故曲线C2的直角坐标方程为x-3y-6=0.(2)注意到点P(6,0)在曲线C2:x-3y-6=0上,故可设曲线C2的参数方程为x=6+32t,y=12t(t为参数),代入y22-x23=1中,得t2+82t+24=0.设M,N对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-82,t1t2=24,故t1,t2同号.故1|PM|+1|PN|=1|t1|+1|t2|=|t1+t2||t1t2|=23.8.解(1)由x=3y得y=33x,所以l的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R),由(x-23)2+(y+1)2=16得x2+y2-43x+2y-3=0,又因为x2+y2=ρ2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以曲线C的极坐标方程为\nρ2-43ρcosθ+2ρsinθ-3=0.(2)将θ=π6代入得,ρ2-6ρ+ρ-3=0,即ρ2-5ρ-3=0,所以ρ1+ρ2=5,ρ1ρ2=-3,由极坐标几何意义得|AB|=|ρ1-ρ2|=(ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ2=25+12=37.9.解(1)由x=1+33t,y=3+t(t为参数),消参数t化简得曲线C2的普通方程为3x-y=0.将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入C2的普通方程,得3ρcosθ-ρsinθ=0,化简得tanθ=3,即θ=π3,即得曲线C2的极坐标方程为θ=π3(ρ∈R).(2)由已知,不妨设AρA,π3,BρB,4π3,于是ρA=a1-sinπ3=a1-32,ρB=a1-sin4π3=a1+32,故|AB|=2a.10.解(1)如图,C1:x2+y2-x=0,即x-122+y2=14是以C112,0为圆心,12为半径,且过原点的圆,设P(x,y)为过原点的直线与C1的交点,连接PC1,由圆的对称性,不妨设∠PC1x=α(0≤α<π),则x=12+12cosα,y=12sinα.由已知,以过原点的直线倾斜角为参数,则0≤θ<π,而α=2θ,所以曲线C1的参数方程为x=12+12cos2θ,y=12sin2θ(θ为参数,且0≤θ<π).(2)根据已知C1,C2的极坐标方程分别为ρ1=cosα(ρ1>0),ρ2=2sinα(ρ2>0),故|AB|=|ρ1±ρ2|=|2sinα±cosα|=5|sin(α±φ)|≤5,其中tanφ=12.故当|sin(α±φ)|=1时,等号成立.综上,|AB|的最大值为5.
