课后限时集训(二十四) 任意角、弧度制及任意角的三角函数建议用时：40分钟一、选择题1．(多选)给出下列四个命题，其中正确的有( )A．－75°角是第四象限角B．260°角是第三象限角C．475°角是第二象限角D．－675°角是第一象限角ABCD [－75°＝－360°＋285°，是第四象限角，故A正确；260°＝0·360°＋260°，是第三象限角，故B正确；475°＝360°＋115°，是第二象限角，故C正确；－675°＝－2×360°＋45°，是第一象限角，故D正确．故选ABCD.]2．(多选)下列说法错误的是( )A．长度等于半径的弦所对的圆心角为1弧度B．若tanα≥0，则kπ≤α≤＋kπ(k∈Z)C．若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0)，则sinα＝D．当2kπ＜α＜＋2kπ(k∈Z)时，sinα＜cosαABC [对于A，长度等于半径的弦所对的圆心角为弧度，故A错误；对于B，若tanα≥0，则kπ≤α＜＋kπ(k∈Z)，故B错误；对于C，若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0)，则sinα＝±，故C错误；对于D，当2kπ＜α＜＋2kπ(k∈Z)时，sinα＜cosα，故D正确．]3．已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为，若α＝，则点P的坐标为( )A．(1，)B．(，1)C．(，)D．(1,1)D [设P(x，y)，则sinα＝＝sin，∴y＝1.\n又cosα＝＝cos，∴x＝1，∴P(1,1)．]4．已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sinθ＝，则m等于( )A．－3B．3C．D．±3B [sinθ＝＝，且m＞0，解得m＝3.]5．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A．2B．4C．6D．8C [设扇形的半径为R，则×4×R2＝2，∴R＝1，弧长l＝4，∴扇形的周长为l＋2R＝6.]6．sin2·cos3·tan4的值( )A．小于0B．大于0C．等于0D．不存在A [∵sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0，∴sin2·cos3·tan4＜0.]二、填空题7．若α＝1560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________.120°或－240° [因为α＝1560°＝4×360°＋120°，所以与α终边相同的角为360°·k＋120°，k∈Z，令k＝－1或k＝0可得θ＝－240°或θ＝120°.]8．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα＞0，则实数a的取值范围是________．(－2,3] [由cosα≤0，sinα＞0知，角α的终边落在第二象限内或y轴的非负半轴上．则有解得－2＜a≤3.]9．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径长为4的弧田(如图所示)，按照上述公式计算出弧田的面积为________．\n4＋2 [由题意可得∠AOB＝，OA＝4.在Rt△AOD中，易得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝OA＝×4＝2，可得矢＝4－2＝2.由AD＝AOsin＝4×＝2，可得弦＝2AD＝4.所以弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)＝4＋2.]三、解答题10．若角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)．(1)求sinθ＋cosθ的值；(2)试判断cos(sinθ)·sin(cosθ)的符号．[解] (1)因为角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)，所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，当a＞0时，r＝5a，sinθ＋cosθ＝－；当a＜0时，r＝－5a，sinθ＋cosθ＝.(2)当a＞0时，sinθ＝∈，cosθ＝－∈，则cos(sinθ)·sin(cosθ)＝cos·sin＜0；当a＜0时，sinθ＝－∈，cosθ＝∈，则cos(sinθ)·sin(cosθ)＝cos·sin＞0.综上，当a＞0时，cos(sinθ)·sin(cosθ)的符号为负；当a＜0时，cos(sinθ)·sin(cosθ)的符号为正．11．已知sinα＜0，tanα＞0.(1)求角α的集合；(2)求终边所在的象限；(3)试判断tansincos的符号．[解] (1)因为sinα＜0且tanα＞0，所以α是第三象限角，故角α的集合为.\n(2)由(1)知2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z，故kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋＜＜2nπ＋，n∈Z，即是第二象限角．当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋＜＜2nπ＋π，n∈Z，即是第四象限角，综上，的终边在第二或第四象限．(3)当是第二象限角时，tan＜0，sin＞0，cos＜0，故tansincos＞0，当是第四象限角时，tan＜0，sin＜0，cos＞0，故tansincos＞0，综上，tansincos取正号．1．点P的坐标为(2,0)，射线OP顺时针旋转2010°后与圆x2＋y2＝4相交于点Q，则点Q的坐标为( )A．(－，)B．(－，1)C．(－1，)D．(1，－)B [由题意可知Q(2cos(－2010°)，2sin(－2010°))，因为－2010°＝－360°×6＋150°，所以cos(－2010°)＝cos150°＝－，sin(－2010°)＝sin150°＝.所以Q(－，1)，故选B.]2．(多选)下列命题中正确的是( )A．若角α的终边上有一点P(0，－3)，则角α不是象限角\nB．和1711°均是第一象限角C．若某扇形的面积为2.5cm2，半径为rcm，弧长满足2r＋l＝7cm，则扇形的圆心角的弧度数是D．若θ∈(0，π)，且角θ与角7θ的终边相同，则θ的值是或AD [对于A，因为点P在y轴上，所以角α的终边在y轴负半轴上，所以角α不是象限角，故A正确．对于B，＝22π＋，因为为第一象限角，所以为第一象限角，由于1711°＝4×360°＋271°，且271°不是第一象限角，所以1711°不是第一象限角，故B错误．对于C，因为解得或所以圆心角的弧度数为＝或5，故C错误．对于D，因为角θ与角7θ的终边相同，所以7θ＝θ＋2kπ，k∈Z，所以θ＝，k∈Z，所以0＜＜π，k∈Z，所以k＝1,2，所以θ＝或，故D正确，故选AD.]3.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．(1)若点B的横坐标为－，求tanα的值；(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；(3)若α∈，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．[解] (1)由题意可得B，根据三角函数的定义得tanα＝＝－.(2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝，故与角α终边相同的角β的集合为.(3)若α∈，则S扇形＝αr2＝α，\n而S△AOB＝×1×1×sinα＝sinα，故弓形AB的面积S＝S扇形－S△AOB＝α－sinα，α∈.
