课时规范练17 任意角、弧度制及任意角的三角函数 基础巩固组1.(2020河南平顶山检测,3)若一个扇形的面积是2π,半径是23,则这个扇形的圆心角为( )A.π6B.π4C.π2D.π32.若sinα<0,且tanα>0,则α是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角3.将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数是( )A.π3B.π6C.-π3D.-π64.(2020河南洛阳一中检测,3)一个扇形的弧长与面积都是6,则这个扇形的圆心角的弧度数是( )A.1B.2C.3D.45.已知α是第二象限角,P(x,5)为其终边上一点,且cosα=24x,则x=( )A.3B.±3C.-2D.-36.(2020江西上饶三模,文4)在平面直角坐标系中,若角α的终边经过点Psin4π3,cos4π3,则tanα=( )A.-33B.3C.-3D.337.(多选)给出下列四个命题,其中不正确的命题是( )A.-3π4是第二象限角B.4π3是第三象限角C.-400°是第四象限角D.-315°是第一象限角8.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,则实数a的取值范围是( )A.(-2,3]B.(-2,3)C.[-2,3)D.[-2,3]9.设角α是第三象限角,且sinα2=-sinα2,则α2是第 象限角. 10.已知扇形周长为40,当扇形面积最大时,它的半径为 ,圆心角为 . 综合提升组11.(2020北京东城一模,7)在平面直角坐标系中,动点M在单位圆上按逆时针方向做匀速圆周运动,每12分钟转动一周.若点M的初始位置坐标为12,32,则运动到3分钟时,动点M所处位置的坐标是( )A.32,12B.-12,32\nC.-32,12D.-32,-1212.使lg(sinθ·cosθ)+-cosθ有意义的θ为( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角13.函数y=sinx+12-cosx的定义域是 . 14.如图,在Rt△PBO中,∠PBO=90°,以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分△POB的面积,且∠AOB=α,则αtanα= . 创新应用组15.(2020北京,10)当正整数n充分大时,计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长,将它们的算术平均数作为2π的近似值.按照此方法,π的近似值的表达式是( )A.3nsin30°n+tan30°nB.6nsin30°n+tan30°nC.3nsin60°n+tan60°nD.6nsin60°n+tan60°n16.(2020河南高三质检,4)中央电视台综合频道每天晚上的“焦点访谈”是时事、政治评论性较强的一个节目,坚持用“事实说话”,深受广大人民群众的喜爱,其播出时间是晚上看电视节目人数最多的“黄金时间”,即晚上7点半到8点之间的一个时刻开始播出,这一时刻也是时针与分针重合的时刻,高度显示“聚焦”之意,比喻时事、政治的“焦点”,则这个时刻大约是( )A.7点36分B.7点38分C.7点39分D.7点40分参考答案\n课时规范练17 任意角、弧度制及任意角的三角函数1.D 设扇形的圆心角为θ,因为扇形的面积S=12θr2,所以θ=2Sr2=4π(23)2=π3,故选D.2.C ∵sinα<0,则α的终边落在第三、四象限或y轴的负半轴,又tanα>0,∴α在第一象限或第三象限,故α在第三象限.3.A 将表的分针拨慢应按逆时针方向旋转,故C,D不正确.又将表的分针拨慢10分,故转过的角度应为圆周的212=16,即为16×2π=π3.4.C 设扇形的圆心角为θ,半径为R,由题意得θR=6,12θR2=6,解得R=2,θ=3.5.D 依题意得cosα=xx2+5=24x<0,由此解得x=-3,故选D.6.D 由题意,知点P的坐标为-32,-12,则tanα=33.7.A 因为-3π4是第三象限角,故A错误;4π3=π+π3,故4π3是第三象限角,故B正确;-400°=-360°-40°,是第四象限角,故C正确;-315°=-360°+45°,是第一象限角,故D正确.故选A.8.A 由cosα≤0,sinα>0可知,角α的终边在第二象限或y轴的正半轴上,所以有3a-9≤0,a+2>0,解得-2<a≤3.9.四 由α是第三象限角,知2kπ+π<α<2kπ+3π2(k∈Z),kπ+π2<α2<kπ+3π4(k∈Z),知α2是第二或第四象限角,再由sinα2=-sinα2,知sinα2<0,所以α2是第四象限角.10.10 2 设扇形的半径为r,圆心角为θ,则rθ+2r=40.∴扇形的面积S=12θr2=12(40-2r)r=-r2+20r=-(r-10)2+100≤100.∴当且仅当r=10时,S有最大值100,此时10θ+20=40,解得θ=2.∴当r=10,θ=2时,扇形的面积最大.11.C 每12分钟转动一周,则运动到3分钟时,转过的角为312×2π=π2.点M的初始位置坐标为12,32,运动到3分钟时动点M所处位置的坐标是M'-32,12,故选C.\n12.C 由题意知sinθcosθ>0,且-cosθ≥0,由sinθ·cosθ>0,知θ为第一、三象限角,又由-cosθ≥0,即cosθ≤0,知θ为第二、三象限角或θ在x轴的负半轴上,所以可知θ为第三象限角.故选C.13.π3+2kπ,π+2kπ(k∈Z) 由题意知sinx≥0,12-cosx≥0,即sinx≥0,cosx≤12.由满足上述不等式组得x的取值范围为π3+2kπ,π+2kπ(k∈Z).14.12 设扇形的半径为r,则扇形的面积为12αr2,在Rt△POB中,PB=rtanα,则△POB的面积为12r2tanα,由题意得12r2tanα=2×12αr2,即tanα=2α,所以αtanα=12.15.A 单位圆的内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为360°6n=60°n,每条边长为2sin30°n,所以单位圆的内接正6n边形的周长为12nsin30°n.单位圆的外切正6n边形的每条边长为2tan30°n,其周长为12ntan30°n.所以2π=12nsin30°n+12ntan30°n2=6nsin30°n+tan30°n,则π=3nsin30°n+tan30°n.故选A.16.B 设7点t分(30<t<60)时针OA与分针OB重合.在7点时,时针OC与分针OD所夹的角为210°,时针每分钟转0.5°,分针每分钟转6°,则分针从OD到达OB需旋转6°t,时针从OC到达OA需旋转0.5°t,于是6°t=0.5°t+210°,解得t=38211≈38.故选B.
