第70课圆锥曲线综合问题1．（2022广州调研）设椭圆的右焦点为，直线：与轴交于点，若（其中为坐标原点）．（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的任意一点，为圆：的任意一条直径（、为直径的两个端点），求的最大值．本资料由《七彩教育网》www.7caiedu.cn提供！【解析】（1）由题设知，，，∵，∴∴，解得．∴椭圆的方程为．（2）设圆：的圆心为，则．从而求的最大值转化为求的最大值．∵是椭圆上的任意一点，设，∴，即．∵点，∴．∵，∴当时，取得最大值．∴的最大值为．6\n2．（2022东城二模）已知椭圆的左焦点，长轴长与短轴长的比是．（1）求椭圆的方程；（2）过作两直线，交椭圆于，，，四点，若，求证：为定值．【解析】（1）由已知得，解得．故所求椭圆方程为．证明：（2）由（1）知，当直线斜率不存在时，此时，．当直线斜率存在时，设直线的方程为：．由，得．由于，设，则有，，．同理．∴．综上，为定值．6\n3．（2022汕头一模）如图，已知椭圆（）的上顶点为，右焦点为，直线与圆：相切．（1）求椭圆的方程；（2）若不过点的动直线与椭圆相交于、两点，且，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．【解析】（1）∵圆：∴圆，∴圆的圆心为，半径为．∴，，，∴直线的方程为，即，∵直线与圆相切，∴，∴，∴椭圆的方程为．（2）由，知，∴直线与坐标轴不垂直，由，可设直线的方程为，则直线的方程为，由，整理得：，解得或，∴的坐标为，即．将上式中的换成，得．∴直线的方程为，化简得直线的方程为，6\n因此直线过定点．4．（2022广东高考）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，且椭圆上的点到的距离的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上，是否存在点使得直线：与圆：相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及相对应的的面积；若不存在，请说明理由．【解答】（1）∵，∴，∴，设是椭圆上任意一点，则，∴，∴，当时，当时，有最大值，∴，∴，当时，，不合题意，∴椭圆的方程为．（2）在中，，∴，当且仅当时，有最大值，∵当时，点到直线的距离为，∴，即，①∵点在椭圆上，∴，②由①②解得，，此时点．6\n5．（2022韶关质检）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为的直线过点．（1）求该椭圆的方程；（2）设椭圆的另一个焦点为，问抛物线上是否存在一点，使得与关于直线对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．【解析】（1）抛物线的焦点为，准线方程为，∵椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，∴，．∴①∵椭圆截抛物线的准线所得弦长为，∴抛物线的准线与椭圆的交点为，∴，②由①、②解得或（舍去），从而．∴椭圆的方程为．（2）∵倾斜角为的直线过点，∴直线的方程为，由（1）知椭圆的另一个焦点为，设与关于直线对称，则得，解得，即．又满足，故点在抛物线上．∴抛物线上存在一点，使得与关于直线对称．6\n6．（2022广州二模）已知对称中心为坐标原点的椭圆与抛物线：有一个相同的焦点，直线：与抛物线只有一个公共点．(1)求直线的方程；(2)若椭圆经过直线上的点，当椭圆的长轴长取得最小值时，求椭圆的方程及点的坐标．【解析】(1)由，得．∵直线与抛物线只有一个公共点，∴，解得．∴直线的方程为．(2)∵抛物线的焦点为，∴椭圆的两个焦点为．设点关于直线的对称点为，则解得∴点．∴直线与直线：的交点为．由椭圆的定义及平面几何知识得：椭圆的长轴长，其中当点与点重合时，上面不等式取等号．∴当时，椭圆的长轴长取得最小值，其值为4．此时椭圆的方程为，点的坐标为．6
