第69课直线与圆锥曲线的位置关系1．（2022全国高考）在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上．（1）求圆的方程；（2）若圆与直线交于两点，且，求的值．【解析】（1）曲线与轴的交点为，与轴的交点为（故可设的圆心为，则，解得．∴圆的半径为．∴圆的方程为．（2），∴．判别式．设，，∴，，①由于，∴，又∴．②由①②得，满足故．2.（2022西城一模）已知椭圆的离心率为，一个焦点为．（1）求椭圆的方程；（2）设直线交椭圆于，两点，若点，都在以点为圆心的圆上，求的值．【解析】（1）∵，，∴，．∴椭圆的方程为．（2）由，得，∵，∴，设，∴，5\n设线段的中点为，则，．∵点，都在以点为圆心的圆上，∴，∴，解得，符合题意．∴．3.已知点，，动点满足，记动点的轨迹为．（1）求的方程；（2）直线与曲线交于不同的两点、，若存在点，使得成立，求实数的取值范围．【解析】（1）由椭圆的定义可知，动点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆．∴，，．∴的方程是．（2）设、，的中点为．由，得．∴∴，．∴斜率．又∵，∴，∴，即．当时，；当时，．故所求的取范围是．5\n4．（2022昌平二模）已知椭圆:，过点,离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在过点的直线与椭圆交于两个不同的点，且使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【解析】（1）由题意可知,，∴，∴，∴椭圆的方程为．（2）点M为PN的中点，设则①①当直线的斜率不存在时，，，,易知不符合条件，此时直线方程不存在．②当直线的斜率存在时，设方程为，由，得，∵，解得，（*）设，，则②，，③由①②③可得消去，可得，故，综上：存在这样直线的方程为：．5\n5．（2022东莞一模）已知椭圆的一个顶点为，且焦点在轴上．若右焦点到直线的距离为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆相交于不同的两点、．当时，求的取值范围．【解析】（1）依题意可设椭圆方程为，则右焦点,由题设，解得，故所求椭圆的方程为．（2）设，为弦的中点，由，得，∵直线与椭圆相交，∴，∴，①∴，从而，∴，又，∴，则，即，②把②代入①得，解得，由②得，解得．综上求得的取值范围是．5\n6．（2022天津高考）已知椭圆，点在椭圆上．（1）求椭圆的离心率；（2）设为椭圆的右顶点，为坐标原点，若在椭圆上且满足,求直线的斜率的值．【解析】（1）∵点在椭圆上，∴，∴，∴，∴，∴．（2）∵为椭圆的右顶点，∴．设，则∵，∴，∴，∴，∴，或（舍去），∴，∴直线的斜率．5
