第54课空间中的垂直关系1．（2022东城二模）给出下列命题：①如果不同直线、都平行于平面，则、一定不相交；②如果不同直线、都垂直于平面，则、一定平行；③如果平面互相平行，若直线，直线，则//；④如果平面互相垂直，且直线、也互相垂直，若则．则真命题的个数是（）A．3B．2C．1D．0【答案】C【解析】只有②为真命题．2．（2022汕头二模）设、是不同的两条直线，、是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【解析】∵，∴，∵，∴．6\n3．（2022湖南高考）如图，在四棱锥中，平面，底面是等腰梯形，∥，．（1）证明：；（2）若，，直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积．国^教*~育出#版%【解析】（1）∵平面，平面，∴．又，，∴平面，∵平面PAC，∴．（2）设和相交于点，连接，由（1）知，平面，∴是直线和平面所成的角，∴．由平面，平面，知．在中，由，得．∵四边形为等腰梯形，，∴均为等腰直角三角形，从而梯形的高为于是梯形面积在等腰三角形中，∴故四棱锥的体积为．6\n4．（2022广东高考）如图所示，在四棱锥中，平面，∥，，是中点，是上的点，且，为中边上的高．（1）证明：平面；（2）若，，，求三棱锥的体积；（3）证明：平面．【解析】（1）证明：∵平面，平面，∴，∵为中边上的高，∴，∵，∴平面．（2）∵是中点，∴点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，∴．∵，∴．（3）取的中点，连结、，∵是中点，∴∥且， 又∵∥且，∴∥且，∴四边形是平行四边形，∴∥．∵平面，∴，又∵，∴6\n∵P，∴平面∵∥，∴平面.5．（2022江苏高考）如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点不同于点），且为的中点．求证：（1）平面平面；（2）直线平面．【证明】（1）∵是直三棱柱，∴平面．又∵平面，∴．又∵,，∴平面．又∵平面，∴平面平面．（2）∵，为的中点，∴．又∵平面，平面，∴．又∵，∴平面．由（1）知，平面，∴∥．又∵平面平面，∴直线平面．6\n6．（2022广州一模）如图所示，在三棱锥中，，平面平面，于点，，，．（1）求三棱锥的体积；（2）证明为直角三角形．【解析】（1）证明：∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面．记边上的中点为，如图：在中，，∴．∵，，∴．∴．∵，∴三棱锥的体积．（2）连接，在中，∵，，，∴．在△中，，，，∴，∴．由（1）知平面，∵平面，∴．6\n∵，∴平面．∵平面，∴．∴为直角三角形．6
