第44课递推数列求通项（1）【补充题型】1．递推公式形如（其中p、q、r、h均为常数，且）方法：作特征方程，解出．【例1】已知数列满足：对于都有．（1）若，求；（2）若，求．【解析】作特征方程，∴，∴．∴．（1）∵，∴．（2）∵，∴，∴数列是以为首项，以为公差的等差数列，∴，∵，∴，∴数列从第5项开始都不存在，∴当，时，．【变式】已知数列满足性质：对于，且，求的通项公式．【解析】作特征方程，∴，解得或．∴，，∴，∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，∴，∴，5\n∴．2．递推公式形如方法：①设，②解出，的值，其中，满足，③再用换元法转化为等比数列求解．【例2】（2022汕头质检）已知数列中，，，求.【解析】设，∴．∴或，取，则，∴是以首项为，公比为的等比数列，∴．∴，∵，又，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴，．【变式】已知数列中，，，，求.【解析】设，∴．∴或，取，则，∴是以首项为，公比为的等比数列，∴．∴，又由得．5\n【课时作业】1．（2022广东高考）设，数列满足，．求数列的通项公式；【解析】∵，∴，∴．①当时，，则是以1为首项，1为公差的等差数列．∴，即．②当且时，．当时，，∴是以为首项，为公比的等比数列．∴．∴．∴．综上所述：．5\n2．（2022全国高考）函数．定义数列如下：，是过两点，的直线与轴交点的横坐标．（1）求的关系；（2）求数列的通项公式．【解析】（1）∵，∴点在函数的图象上，∴由所给出的两点，，可知，直线斜率一定存在．∴直线的直线方程为，令，则，∴，∴．（2）由得到该数列的一个特征方程，即，解得或，∴，①，②两式相除可得,而，∴数列是以为首项以为公比的等比数列，∴,故．5\n5
