第15课函数的周期性1．已知定义在上的奇函数，满足,且在区间上是增函数，则()A.B.C.D.【答案】D【解析】∵，∴，∴，∴的周期为，∴，，，又∵奇函数在区间上是增函数，∴在区间上是增函数，∴，故选D.2．（2022济南质检）已知定义在上的函数满足，且，，则…（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，∴函数的周期是，∴，∴．∴…．3．（2022北京朝阳一模）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有．当时，．若直线与函数的图象在内恰有两个不同的公共点，则实数的值是（）A．B．或C．或D．或【答案】D【解析】如图，直线经过点时，满足条件；直线和相切时，满足条件，3\n由，得，∴，即．4．（2022重庆高考）已知是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“为上的增函数”是“为上的减函数”的（）A．既不充分也不必要的条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．充要条件【答案】D【解析】∵为偶函数，∴当在上是增函数，则在上则为减函数，又函数的周期是2，∴在区间也为减函数.若在区间为减函数，根据函数的周期可知在上则为减函数，又函数为偶函数，根据对称性可知，在上是增函数，综上可知，“在上是增函数”是“为区间上的减函数”成立的充要条件.5．已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数（）是奇函数，又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值．（1）证明：；（2）求的解析式；（3）求在上的解析式．【解析】（1）∵是以为周期的周期函数，∴，又∵是奇函数，∴，∴．（2）当时，设，∵，∴，解得，∴．（3）∵是奇函数，∴，又知在上是一次函数，设，而，∴，∴当时，，当时，，故时，．∴当时，有，∴．当时，，∴．∴．3\n6．定义在上的函数，且对任意的,均有，成立，当时，．（1）求证：是奇函数；（2）当时，求函数的表达式；（3）当时，求函数的表达式．【解析】（1）∵，∴的周期．由，得，故是奇函数．（2）设时，，∴，∵是奇函数，∴．∴．（3）当时，，∴．当时，,∴．当时，，．∵在上为奇函数，∴．∴,∴．∴．故当，时，的表达式为，．3
