专题2.2函数定义域、值域【考纲解读】内容要求备注A B C 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数的基本性质 √ 1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2．了解简单的分段函数，并能简单应用．【直击考点】题组一 常识题1．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是________．A．y＝xB．y＝lgxC．y＝2xD．y＝【答案】D【解析】y＝10lgx＝x，定义域与值域均为(0，＋∞)，只有选项D满足题意．2．已知函数y＝f(x＋1)的定义域是[－2，3]，则y＝f(2x－1)的定义域为________．【答案】 【解析】由x∈[－2，3]，得x＋1∈[－1，4]，由2x－1∈[－1，4]，得x∈3．[教材改编]函数f(x)＝的定义域是________．【答案】(－∞，－3)∪(－3，8]【解析】要使函数有意义，则需8－x≥0且x＋3≠0，即x≤8且x≠－3，所以其定义域是(－∞，－3)∪(－3，8]．题组二 常错题4．函数y＝f(cosx)的定义域为(k∈Z)，则函数y＝f(x)的定义域为________．【答案】 -8-\n【解析】由于函数y＝f(cosx)的定义域是(k∈Z)，所以u＝cosx的值域是，所以函数y＝f(x)的定义域是.5．已知函数f(x)＝当t∈[0，1]时，f[f(t)]∈[0，1]，则实数t的取值范围是______________．【答案】【解析】因为t∈[0，1]，所以f(t)＝3t∈[1，3]，所以f[f(t)]＝f(3t)＝－·3t∈[0，1]，即≤3t≤3，所以log3≤t≤1.6．若函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是________．【答案】.【解析】函数的定义域为R，即mx2＋4mx＋3≠0恒成立．①当m＝0时，符合题意；②当m≠0时，Δ＝(4m)2－4×m×3<0，即m(4m－3)<0，解得0<m<.综上所述，实数m的取值范围是.题组三 常考题7．若一系列函数的解析式相同、值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y＝x2，值域为{1，4}的“同族函数”共有________个．【答案】9 8．函数f(x)＝lg(x2＋x－6)的定义域是________．【答案】{x|x<－3或x>2} 【解析】要使函数有意义，则需x2＋x－6>0，解得x<－3或x>2.9．设函数f(x)在区间[0，1]上有意义，若存在x∈R使函数f(x－a)＋f(x＋a)有意义，则a的取值范围为________.【答案】 [－2，－1].-8-\n【知识清单】1函数的定义域1．已知函数解析式,求定义域,其主要依据是使函数的解析式有意义,主要形式有:(1)分式函数,分母不为0；(2)偶次根式函数,被开方数非负数；(3)一次函数、二次函数的这定义域为R；（4）中的底数不等于0；（5）指数函数的定义域为R；（6）对数函数的定义域为；（7）的定义域均为R；（8）的定义域均为；2.求抽象函数的定义域:（1）由的定义域为，求的定义域，须解;（2）由的定义域D，求的定义域，只须解在D上的值域就是函数的定义域;（3）由的定义域D，求的定义域.3.实际问题中的函数的定义域，除了使解析式本身有意义，还要使实际问题有意义.2函数的值域函数值域的求法:(1)利用函数的单调性:若y=f(x)是[a,b]上的单调增(减)函数,则f(a),f(b)分别是f(x)在区间[a,b]上取得最小(大)值,最大(小)值.(2)利用配方法:形如型,用此种方法,注意自变量x的范围.(3)利用三角函数的有界性,如.-8-\n(4)利用“分离常数”法:形如y=或(a,c至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.(5)利用换元法:形如型,可用此法求其值域.(6)利用基本不等式:(7)导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域【考点深度剖析】定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起，难度中等．【重点难点突破】考点1函数的定义域【1-1】函数y＝的定义域为_________．【答案】(－∞，－1)∪(－1，0)．【1-2】函数的定义域为_________．【答案】【解析】由已知条件，自变量需满足得所以故而所求函数定义域为.-8-\n【1-3】设，则的定义域为________．【答案】【解析】由得，的定义域为.故，解得.故的定义域为【1-4】若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．【答案】[－1,0]【思想方法】(1)已知具体函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)对抽象函数：①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．【温馨提醒】对于含有字母参数的函数定义域，应注意对参数取值的讨论；对于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义；而分段函数的定义域是各段区间的并集、各个段上的定义域交集为空集，即各个段的端点处不能重复．考点2函数的值域【2-1】求函数y＝x＋(x<0)的值域．【答案】(－∞，－4]．【解析】∵x<0，∴x＋＝－≤－4，当且仅当x＝－2时等号成立．-8-\n∴y∈(－∞，－4]．∴函数的值域为(－∞，－4]．【2-2】求函数y＝x2＋2x(x∈[0,3])的值域．【答案】[0,15]．【解析】(配方法)y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，∵y＝(x＋1)2－1在[0,3]上为增函数，∴0≤y≤15，即函数y＝x2＋2x(x∈[0,3])的值域为[0,15]．【2-3】求函数y＝的值域．【答案】(－1,1]．【2-4】求函数f(x)＝x－.的值域．【答案】.【解析】法一：(换元法)令＝t，则t≥0且x＝，于是y＝－t＝－(t＋1)2＋1，由于t≥0，所以y≤，故函数的值域是.法二：(单调性法)容易判断f(x)为增函数，而其定义域应满足1－2x≥0，即x≤，所以-8-\n即函数的值域是.【2-2】求函数y＝的值域．【答案】【思想方法】求函数值域常用的方法(1)配方法，多适用于二次型或可转化为二次型的函数．(2)换元法．(3)基本不等式法．(4)单调性法．(5)分离常数法．【温馨提醒】求函数值域的方法多样化，需结合函数解析式的特点选用恰当的方法【易错试题常警惕】分段函数的参数求值问题，一定要注意自变量的限制条件．如：已知实数，函数，若，则的值为_______．【分析】当时，，，由得，-8-\n解得，不合题意；当时，，，由得，解得．所以的值为．【易错点】没有对进行讨论，以为，直接代入求解而致误；求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求而致误．【练一练】函数f(x)＝则f(f(－1))的值为________.【答案】－2【解析】∵f(－1)＝4－1＝，∴f(f(－1))＝f＝log2＝－2.-8-
