第三章第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式题组一三角函数的化简、求值1.的值是( )A.B.C.D.解析：原式＝＝＝＝.答案：C2.＋2的化简结果是( )A．4cos4－2sin4B．2sin4C．2sin4－4cos4D．－2sin4解析：原式＝＋2＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|，∵＜4＜，∴cos4＜0，sin4＜cos4.∴原式＝－2cos4＋2(cos4－sin4)＝－2sin4.答案：D3．(2022·辽宁模拟)已知α、β均为锐角，且tanβ＝，那么tan(α＋β)＝________.解析：∵tanβ＝，∴tanβ＝＝tan(－α)．又∵α、β均为锐角，∴β＝－α，即α＋β＝，∴tan(α＋β)＝tan＝1.答案：1题组二给值求值问题7/7\n4.sin(－x)＝，那么sin2x的值为( )A.B.C.D.解析：∵sin(－x)＝，∴cosx－sinx＝(cosx－sinx)＝.∴cosx－sinx＝.∴(cosx－sinx)2＝1－sin2x＝，∴sin2x＝.答案：A5．已知α为钝角，且sin(α＋)＝，那么cos(α＋)的值为( )A.B.C．－D.解析：∵α为钝角，且sin(α＋)＝，∴cos(α＋)＝－，∴cos(α＋)＝cos[(α＋)＋]＝cos(α＋)cos－sin(α＋)sin＝(－)·－·＝－.答案：C6．已知cos＝，x∈.(1)求sinx的值；(2)求sin的值．解：(1)法一：因为x∈，所以x－∈，7/7\nsin＝＝.sinx＝sin[＋]＝sin(x－)cos＋cos(x－)sin＝×＋×＝.法二：由题设得cosx＋sinx＝，即cosx＋sinx＝.又sin2x＋cos2x＝1，从而25sin2x－5sinx－12＝0，解得sinx＝或sinx＝－.因为x∈，所以sinx＝.(2)因为x∈，故cosx＝－＝－＝－.sin2x＝2sinxcosx＝－，cos2x＝2cos2x－1＝－.所以sin＝sin2xcos＋cos2xsin＝－.题组三给值求角问题7.已知A、B均为钝角，且sinA＝，sinB＝，那么A＋B等于( )A.B.C.或D.解析：由已知可得cosA＝－，cosB＝－，7/7\n∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝，又∵＜A＜π，＜B＜π，∴π＜A＋B＜2π，∴A＋B＝.答案：B8．在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,4sinB＋3cosA＝1，那么C等于( )A．30°B．150°C．30°或150°D．60°或120°解析：已知两式两边分别平方相加，得25＋24(sinAcosB＋cosAsinB)＝25＋24sin(A＋B)＝37，∴sin(A＋B)＝sinC＝，∴C＝30°或150°.当C＝150°时，A＋B＝30°，此时3sinA＋4cosB＜3sin30°＋4cos0°＝，这与3sinA＋4cosB＝6相矛盾，∴C＝30°.答案：A9．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点．已知A、B的横坐标分别为，.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．解：(1)由已知条件及三角函数的定义可知，cosα＝，cosβ＝.因α为锐角，故sinα＞0，从而sinα＝＝，同理可得sinβ＝.因此tanα＝7，tanβ＝.所以tan(α＋β)＝＝＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝－1.又0＜α＜，0＜β＜，故0＜α＋2β＜，7/7\n从而由tan(α＋2β)＝－1得α＋2β＝.题组四公式的综合应用10.(2022·晋城模拟)已知向量a＝(sin(α＋),1)，b＝(4,4cosα－)，假设a⊥b，那么sin(α＋)等于( )A．－B．－C.D.解析：a·b＝4sin(α＋)＋4cosα－＝2sinα＋6cosα－＝4sin(α＋)－＝0，∴sin(α＋)＝.∴sin(α＋)＝－sin(α＋)＝－.答案：B11．已知cos(α－)＋sinα＝，那么sin(α＋)的值为________．解析：∵cos(α－)＋sinα＝cosα＋sinα＝，∴cosα＋sinα＝，∴sin(α＋)＝－sin(α＋)＝－(sinα＋cosα)＝－.答案：－12．(文)已知点M(1＋cos2x,1)，N(1，sin2x＋a)(x∈R，a∈R，a是常数)，设y＝(O为坐标原点)．(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)，并求f(x)的最小正周期；(2)假设x∈[0，]时，f(x)的最大值为4，求a的值，并求f(x)在[0，]上的最小值．解：(1)依题意得：＝(1＋cos2x,1)，＝(1，sin2x＋a)，7/7\n∴y＝1＋cos2x＋sin2x＋a＝2sin(2x＋)＋1＋a.∴f(x)的最小正周期为π.(2)假设x∈[0，]，那么(2x＋)∈[，]，∴－≤sin(2x＋)≤1，此时ymax＝2＋1＋a＝4，∴a＝1，ymin＝－1＋1＋1＝1.(理)已知α、β为锐角，向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(，－)．(1)假设a·b＝，a·c＝，求角2β－α的值；(2)假设a＝b＋c，求tanα的值．解：(1)∵a·b＝(cosα，sinα)·(cosβ，sinβ)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)＝，①a·c＝(cosα，sinα)·(，－)＝cosα－sinα＝，②又∵0＜α＜，0＜β＜，∴－＜α－β＜.由①得α－β＝±，由②得α＝.由α、β为锐角，∴β＝.从而2β－α＝π.(2)由a＝b＋c可得③2＋④2得cosα－sinα＝，7/7\n∴2sinαcosα＝.又∵2sinαcosα＝＝＝，∴3tan2α－8tanα＋3＝0.又∵α为锐角，∴tanα＞0，∴tanα＝＝＝.7/7
