第3讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．(2022·山西省第二次四校联考)已知sin＝，－<α<0，则cos的值是( )A. B.C．－D．1解析：选C.由已知得cosα＝，sinα＝－，cos＝cosα＋sinα＝－.2．(2022·开封模拟)已知tanα＝4，则的值为( )A．4B.C．4D.解析：选B.＝＝＝＝.故选B.3．(2022·景德镇二检)已知tan(α＋β)＝1，tan＝，则tan的值为( )A.B.C.D.解析：选B.tan＝tan＝＝＝.4．(2022·贵阳监测)已知sin＋sinα＝，则sin的值是( )6\nA．－B.C.D．－解析：选D.sin＋sinα＝⇒sin·cosα＋cos·sinα＋sinα＝⇒sinα＋cosα＝⇒sinα＋cosα＝，故sin＝sinαcos＋cosαsin＝－＝－.5．已知sin＝，则cos的值是( )A.B.C．－D．－解析：选D.因为sin＝，所以cos＝cos＝1－2sin2＝，所以cos＝cos＝cos＝－cos＝－.6．(2022·河北省衡水中学高三调研)－＝( )A．4B．2C．－2D．－4解析：选D.－＝－＝＝＝＝－4，故选D.7．(2022·江苏省四市调研)已知tan(α＋β)＝，tanβ＝，则tan6\n的值为________．解析：因为tanα＝tan(α＋β－β)＝＝＝，所以tan＝＝＝.答案：8．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，β是第三象限角，则sin＝________．解析：依题意可将已知条件变形为sin[(α－β)－α]＝－sinβ＝，sinβ＝－.又β是第三象限角，因此有cosβ＝－.sin＝－sin(β＋)＝－sinβcos－cosβsin＝.答案：9．已知sin(α－45°)＝－，0°＜α＜90°，则cosα＝________．解析：因为0°＜α＜90°，所以－45°＜α－45°＜45°，所以cos(α－45°)＝＝，所以cosα＝cos[(α－45°)＋45°]＝cos(α－45°)cos45°－sin(α－45°)sin45°＝.答案：10．(2022·商丘一模)已知α∈，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则＝________．解析：因为α∈，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则(2sinα－3cosα)·(sinα＋cosα)＝0，所以2sinα＝3cosα，6\n又sin2α＋cos2α＝1，所以cosα＝，sinα＝，所以＝＝.答案：11．(2022·高考江苏卷)已知α∈，sinα＝.(1)求sin的值；(2)求cos的值．解：(1)因为α∈，sinα＝，所以cosα＝－＝－.故sin＝sincosα＋cossinα＝×＋×＝－.(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，所以cos＝coscos2α＋sin·sin2α＝×＋×＝－.1．(2022·山东省德州一中月考)设α为锐角，若cos＝，则sin＝________．解析：因为α为锐角，cos＝，6\n所以sin＝，故sin＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝－.答案：－2．若sin＝，cos＝，且0<α<<β<π，求cos(α＋β)的值．解：因为0<α<<β<π.所以π<π＋α<π，－<－β<0.又sin＝，cos＝，所以cos＝－，sin＝－，所以cos(α＋β)＝sin＝sin＝sincos－cos·sin＝－.3．已知sinα＋cosα＝，α∈，sin＝，β∈.(1)求sin2α和tan2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)由题意得(sinα＋cosα)2＝，即1＋sin2α＝，所以sin2α＝.又2α∈.6\n所以cos2α＝＝，所以tan2α＝＝.(2)因为β∈，β－∈，sin＝，所以cos＝，于是sin2＝2sin·cos＝.又sin2＝－cos2β，所以cos2β＝－，又2β∈，所以sin2β＝，又cos2α＝＝，α∈，所以cosα＝，sinα＝.所以cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝×－×＝－.6
