课时提升作业(十六)同角三角函数的基本关系及诱导公式一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2022·东营模拟)计算:sinπ+cosπ=( )A.-1 B.1 C.0 D.【解析】选A.原式==-sin+cos(π+)=--cos=--=-1.2.(2022·广州模拟)已知sin(π+α)=,α是第四象限角,则sinα=( )A. B.- C. D.-【解析】选D.sin(π+α)=sin(2π++α)=sin(+α)=cosα=.因为α是第四象限角,所以sinα=-【加固训练】(2022·晋中模拟)已知α为第四象限的角,且,则tanα=( )A.-B.C.-D.【解析】选A.,又α为第四象限角,所以sinα=,故tanα=3.已知sin=,则cos=( )A.B.-C.D.-【解析】选C.因为-6-\n所以=sin4.(2022·厦门模拟)已知cos31°=a,则sin239°·tan149°的值是( )【解析】选B.sin239°·tan149°=sin(270°-31°)·tan(180°-31°)=(-cos31°)·(-tan31°)=sin31°=5.化简的结果是( )A.sin3-cos3B.cos3-sin3C.±(sin3-cos3)D.以上都不对【解题提示】先用诱导公式化简去掉π,再巧换“1”配方,开方时要判断符号.【解析】选A.sin(π-3)=sin3,cos(π+3)=-cos3,所以原式==|sin3-cos3|.因为<3<π,所以sin3>0,cos3<0,即sin3-cos3>0,所以原式=sin3-cos3,选A.【误区警示】解答本题容易忽略讨论3的范围而导致误选B.6.(2022·咸阳模拟)化简的结果是( )A.2sinαB.2cosαC.sinα+cosαD.sinα-cosα【解析】选C.原式==sinα+cosα.-6-\n【一题多解】解答本题还可用验证法:选C.因为本题是分式的化简,其化简结果与分母相乘应得分子,验证易知(1+sinα+cosα)(sinα+cosα)=sinα+cosα+(sinα+cosα)2=1+sinα+cosα+2sinαcosα,故选C.7.(2022·衡阳模拟)已知角α的终边经过点P(2,-1),则= ( )A.3B.C.-D.-3【解题提示】先根据已知条件得到tanα,再化简代入即可得到结果.【解析】选D.因为角α的终边经过点P(2,-1),所以tanα=-,则===-3,故选D.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2022·成都模拟)tan660°的值为 .【解析】tan660°=tan(2×360°-60°)=tan(-60°)=-tan60°=-.答案:-9.已知sinx=-,x是第四象限角,则tanx= .【解析】由题意,得cosx=所以tanx=答案:-10.若f(cosx)=cos3x,则f(sin30°)的值为 .【解题提示】将sin30°写成余弦的形式,再利用所给函数关系式求解.【解析】因为f(cosx)=cos3x,所以f(sin30°)=f(cos60°)=cos(3×60°)=cos180°=-1.-6-\n答案:-1(20分钟 40分)1.(5分)(2022·黄山模拟)设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β都是非零实数,若f(2015)=-1,那么f(2016)等于( )A.-1B.0C.1D.2【解析】选C.因为f(2015)=asin(2015π+α)+bcos(2015π+β)=-asinα-bcosβ=-1,所以asinα+bcosβ=1.所以f(2016)=asin(2016π+α)+bcos(2016π+β)=asinα+bcosβ=1.2.(5分)(2022·泉州模拟)已知,则的值是( )A.B.-C.2D.-2【解题提示】灵活运用平方关系,由1-sin2α=cos2α,得(1-sinα)(1+sinα)=cosαcosα,把等积式化为比例式求解.【解析】选A.由同角三角函数关系式1-sin2α=cos2α及题意可得cosα≠0,且1-sinα≠0,可得(1+sinα)(1-sinα)=cosαcosα,所以,所以,即【误区警示】解答本题,易由已知得cosα=-2(1+sinα),代入求值,从而陷入困境,此路不通.若把sinα和cosα都求出来,计算量又太大.3.(5分)(2022·齐齐哈尔模拟)若sinθ,cosθ是方程4x2+2mx+m=0的两根,则m的值为( )A.1+B.1-C.1±D.-1-【解题提示】先利用根与系数的关系将sinθ+cosθ与sinθcosθ用m表示,再利用(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ构造关于m的方程求解,同时注意Δ≥0这一前提.【解析】选B.由题意知:sinθ+cosθ=-,sinθcosθ=,又(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,-6-\n所以,解得:m=1±,又Δ=4m2-16m≥0,所以m≤0或m≥4,所以m=1-.【误区警示】解答本题容易忽略Δ≥0的前提条件而致误.【方法技巧】应用同角三角函数基本关系式的常见规律sinα+cosα,sinα-cosα与sinαcosα的关系:(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα;(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα;(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2;(sinα+cosα)2-(sinα-cosα)2=4sinαcosα.4.(12分)已知sin(3π+α)=lg,cos(π-α)>0,(1)求的值.(2)求的值.【解析】(1)因为sin(3π+α)=sin(π+α)=-sinα,lg=lg10=-,所以-sinα=-.即sinα=.又因为cos(π-α)=-cosα>0,即cosα<0,所以cosα=得(2)=cos2α-sin2α【加固训练】已知2sin2α+sinαcosα-3cos2α=,求tanα的值.-6-\n【解析】方法一:由已知得10sin2α+5sinαcosα-15cos2α=7sin2α+7cos2α,所以3sin2α+5sinαcosα-22cos2α=0,所以(3sinα+11cosα)(sinα-2cosα)=0,所以3sinα=-11cosα或sinα=2cosα,所以tanα=-或tanα=2.方法二:所以所以10tan2α+5tanα-15=7tan2α+7,所以3tan2α+5tanα-22=0,所以(3tanα+11)(tanα-2)=0,所以tanα=-或tanα=2.5.(13分)(能力挑战题)在△ABC中,sinA+cosA=,cosA=-cos(π-B),求△ABC的三个内角.【解题提示】先由sinA+cosA=,求出角A,再利用cosA=-cos(π-B)求角B,最后由内角和定理求角C.【解析】因为sinA+cosA=,所以1+2sinAcosA=2,所以sin2A=1.因为A为△ABC的内角,所以2A=,所以A=.因为cosA=-cos(π-B),所以cos=cosB,所以cosB=.因为0<B<π,所以B=.因为A+B+C=π,所以C=.所以A=,B=,C=.-6-
