第8讲基本初等函数一、函数的单调性及性质当x1<x2时，都有________，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有________，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数单调性定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，x1≠x2，那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上是________；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是________．导数法：已知函数y＝f(x)在某区间D内可导，若f′(x)>0，则函数y＝f(x)为区间D上的________，若f′(x)<0，则函数y＝f(x)为区间D上的________；运算法：在公共定义域内，增函数＋增函数＝________，减函数＋减函数＝________；复合函数单调性的判断方法：“同增异减”，即若y＝f(x)和u＝g(x)的单调性相同，则函数y＝f[g(x)]是________，若y＝f(x)和u＝g(x)的单调性相反，则函数y＝f[g(x)]是________．简单性质：奇函数在其关于原点对称区间上的单调性________，偶函数在其关于原点对称区间上的单调性________．练：函数中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)”的是( )A．f(x)＝B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝exD．f(x)＝ln(x＋1)二、函数奇偶性的定义奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__________，那么函数f(x)是偶函数关于________________对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__________，那么函数f(x)是奇函数关于________________对称奇偶函数的简单性质(1)奇函数的图象关于______对称；偶函数的图象关于______对称；7\n(2)在定义域的公共部分内，两个奇函数之积(商)为________；两个偶函数之积(商)也是________；一奇一偶函数之积(商)为________(注：取商时应使分母不为0)；(4)若函数y＝f(x)是奇函数且0是定义域内的值，则f(0)＝_________；(5)f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．练：已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a>0且a≠1),若g(2)=a,则f(2)等于( )(A)2(B)(C)(D)a2三、幂、指、对函数1．幂函数(1)幂函数定义：一般地，形如______(α∈R)的函数称为幂函数，其中α为常数．几种常见幂函数的图象：①y＝x；②y＝x；③y＝x2；④y＝x－1；⑤y＝x3.(2)幂函数性质①所有的幂函数在______都有定义，并且图象都过点______；②α>0时，幂函数的图象通过______，并且在区间[0，＋∞)上是________．③α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上是__________．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．练：函数y=的图象是( )2．对数的概念(1)如果ab＝N(a>0，且a≠1)，那么b＝______________.(2)以____为底的对数叫常用对数，N的常用对数简记为____；以____为底的对数叫自然对数，N的自然对数简记为____．2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则：如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么7\n①loga(MN)＝______________；②loga＝______________；③logaMn＝________(n∈R)；④logamMn＝________.(2)对数的性质：①＝________；②logaaN＝________；③logaa＝__________(a>0且a≠1)；④loga1＝________(a>0且a≠1)．(3)对数的重要公式：①换底公式：____________(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝，3．对数函数的图象a>10<a<1图象练：（1）已知幂函数y＝f(x)的图像过点，则log4f(2)的值为( )A. B．－C．2D．－2（2）已知，则的大小关系是（）A．B．C．D．（3）函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是()四．函数零点的定义1．对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使________成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．2．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与________有交点⇔函数y＝f(x)有________．3．函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有____________，那么函数y＝f(x)在区间________内有零点，即存在c∈(a，b7\n)，使得________，这个________也就是f(x)＝0的根．4.二分法(1)对于在区间[a，b]上连续不断且____________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________，使区间的两个端点逐步逼近________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．练：（1）函数的一个零点所在的区间是（）A.B.C.D.（2）根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为( )x－10123ex0.3712.727.3920.09x＋212345A．(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)（3）函数f(x)＝的零点个数为________．（4）．设,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区间（）A．B．C．D．不能确定基础训练：1．函数的定义域是（）A.B.C.D.2．函数y=的值域是( )(A)[0,+∞)(B)[0,2](C)[0,2)(D)(0,2)3．函数的图象必经过定点___________．4．函数是幂函数，且在上是增函数，则实数 .5．三个数的大小关系为（）7\nA.B.C．D.6．设a＝lge，b＝(lge)2，c＝lg，则a、b、c的大小关系是________．7．已知集合A＝{x|33－x<6}，B＝{x|lg(x－1)<1}，则A∩B＝________．8．已知且，则（）A．有最大值2B．等于4C．有最小值3D．有最大值49．已知函数，则的值是（）A．B．C．D．10．设函数则=___________.11．已知函数，则满足不等式的实数的取值范围为．12．已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为.13．函数f(x)＝的值域为________．14.已知函数为奇函数，当时，，则满足不等式的的取值范围是．15．函数f(x)＝lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为()A．0B．1C．2D．37\n16．函数f(x)＝1－xlog2x的零点所在的区间是( )A.（，）B.（，1）C．(1，2)D．(2，3)17．由表格中的数据可以判定方程的一个零点所在的区间是，则的值为（）-101230．3712．727．3920．0912345A．-1B．0C．1D．218．若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．19．设函数，则（）A．在区间内均有零点B．在区间内均无零点C．在区间内有零点，在区间内无零点D．在区间内无零点，在区间内有零点20．下图给出4个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应是Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．21．函数的图象大致是7\n22．已知函数f(x)=2x-2,则函数y=|f(x)|的图象可能是( )提升训练：1．函数f(x)=xln|x|的图象大致是( )2．已知函数，若实数是方程的解，且，则的值()A．等于零B．恒为负C．恒为正D．不大于零3．已知函数，且函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是()A．B．.D．4．已知函数f(x)＝|log2x|，正实数m、n满足m<n且f(m)＝f(n)，若f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，则m、n的值分别为________.7
