第5讲:平面向量一、1.向量的有关概念及表示平行向量方向相同或相反的非零向量a∥b相等向量______相等且方向______的向量a=b相反向量______相等且方向______的向量向量a的相反向量是______单位向量长度等于______个单位的向量用e表示,|e|=________2.结论(1)若D为线段AB的中点,O为平面内一点,则=(+)(2)++=⇔P为△ABC的重心.(3)A、B、C三点共线⇔⇔存在实数λ,μ,对任意一点O,O=μO+3.向量的数量积(1)向量数量积的概念已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量__________叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=__________,规定,零向量与任一向量的数量积为____,即________.(2)向量的投影设两个非零向量a与b的夹角为θ,________称为向量a在b方向上的投影;________称为向量b在a方向上的投影.(3)公式:已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是向量a,b的夹角.向量表示坐标表示向量a的模|a|=|a|=a,b的数量积a·b=|a||b|cosθa·b=x1x2+y1y2a与b共线a∥b⇔b=λaa∥b⇔x1y2-x2y1=0a与b垂直a⊥b⇔a·b=0a⊥b⇔x1x2+y1y2=0a,b的夹角cosθ=cosθ=二、基础知识5\n(一)向量共线和向量的表示1.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.2.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则=________.3.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边中点,且2++=0,则有( )A.=2B.=C.=3D.2=4.设平面上有四个互异的点A、B、C、D,已知(则△ABC的形状是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形5.在△ABC所在的平面上有一点P满足++=,则△PBC与△ABC的面积之比是________.6.如图,在边长为1的正六边形ABCDEF中,,则=(二)向量的模、夹角、数量积、坐标运算例:已知,,且与夹角为120°求(1);(2);(3)与的夹角5\n1.已知向量a=(-1,1),b=(3,m),a∥(a+b),则m=( )A.2B.-2C.-3D.32.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为( ).A.B.C.D.3.已知向量满足,则向量的夹角为()A.B.C.D.4.若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为________.5.已知.则的夹角为_______________.6.已知非零向量a,b,c满足a+b+c=0,向量a与b的夹角为60°,且|a|=|b|=1,则向量a与c的夹角为________.7.已知A(1,2),B(3,4),C(-2,2),D(-3,5),则向量在向量上的投影为______8.已知向量与的夹角为120°,且||=3,||=2.若=λ+,且⊥,则实数λ的值为________.9.已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则=________.10.如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·=,则·5\n的值是________.11.在△ABC中,AB=3,AC=2,,则的值为()A.-B.C.-D.三、提升训练:1.在△ABC中,O为中线AM上的一个动点,若,则的最小值是2.在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为______.3.已知点,为坐标原点,点满足,则的最大值是四、课后作业:1.若向量a=(cosθ,sinθ),b=(,-1),则|a-b|的最大值为2.已知,,若∥,则=3.已知点,,则与共线的单位向量为()A.或B.C.或D.4.设向量则=5.则向量在向量方向上的投影为;向量在向量方向上的投影为;5\n6.△ABC中AB=2,AC=3,点D是△ABC的重心,则=________.7.如图,在中,、分别为边、的中点.为边上的点,且,若,,则的值为.8.如图,边长为l的菱形ABCD中,DAB=60o,,则。5