第四讲：不等式和线性规划（一）不等式的性质一、知识梳理：不等式的性质性质4：a＞b，c＞0⇒________；a＞b，c＜0⇒________.以上是不等式的基本性质，以下是不等式的运算性质．性质5：a＞b，c＞d⇒____________(加法法则)．性质6：a＞b＞0，c＞d＞0⇒________(乘法法则)．性质7：a＞b＞0，n∈N*⇒__________(乘方法则)．性质8：a＞b＞0，n∈N，n≥2⇒____________(开方法则)．性质9：ab＞0，a＞b⇒________________(倒数法则)．二、基础训练：1.若a>b>0，则( )A．a2c>b2c(c∈R)B.>1C．lg(a－b)>0D.a<b2．设a，b，c∈R，且a>b，则( )．A．ac>bcB.<C．a2>b2D．a3>b33．已知，则下列不等式正确的是()A．B．C．D．4．若，则下列不等式成立的是A、 B、C、D、5.[2022·浙江卷]若a，b为实数，则“0<ab<1”是“b<”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件（二）不等式的解法一、分式不等式与一元二次不等式的关系设a<b，>0等价于________；<0等价于(x－a)(x－b)<0；≥0等价于____________；≤0等价于6\n二、基础训练1.设全集U＝R，不等式≤1的解集是A，则∁UA＝( )A．(0,3]B．(－∞，0]∪(3，＋∞)C．[3，＋∞)D．(－∞，0)∪[3，＋∞)2.不等式log2(－x2＋3x)<1的解集是( )A．{x|0<x<3}B．{x|x<1或x>2}C．{x|0<x<1或2<x<3}D．{x|－2<x<－1}3.[2022·上海卷]不等式<1的解为________．4．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( )A．(0,2)B．(－2,1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(－1,2)5.不等式的解集是.（三）二元一次不等式组和线性规划一、知识梳理：线性规划问题二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)，________边界直线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)________边界直线．(2)直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点，其坐标适合Ax＋By＋C>0(Ax＋By＋C<0)；而位于直线Ax＋By＋C＝0另一侧所有点，其坐标适合______________．(3)可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的符号来判断Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)所表示的区域．二、基础训练：1．不等式组表示的平面区域是()6\nA.B.C.D.2.不等式组表示的平面区域的面积为( )A.B.C．24D．323.如图36－3，已知△ABC中，A(3，－1)、B(－1,1)、C(1,3)，则△ABC区域所表示的二元一次不等式组为________．4．若变量x，y满足约束条件则x＋2y的最大值是5．某公司生产甲，乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克，B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲，乙两种产品中，公司可获得的最大利润是( )A．2200元B．2400元C．2600元D．2800元6．设实数x,y满足,则的取值范围是（）A.B.C.D.7．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．三、课后作业：1．已知变量x，y满足则x＋y的最小值是______．2．已知满足约束条件，且恒成立，则的取值范围为。6\n3．若实数x，y满足，则x2＋(y＋1)2的最大值与最小值的差为________4．已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a等于________．（四）基本不等式一、知识梳理：1．基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：_____________________________.(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．(3)算术平均数与几何平均数：设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为________，几何平均数为________，故基本不等式也可叙述为：两个正数的算术平均数___________________________．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥______(a，b∈R)；(2)＋≥____(a，b同号)；(3)ab≤2(a，b∈R)；3．利用基本不等式求最值问题已知x、y∈R＋，x＋y＝P，xy＝S，有下列命题：如果S是定值，那么当且仅当______时，x＋y有最小值______；如果P是定值，那么当且仅当______时，xy有最大值______．► 问题1 当x<0时，函数y＝x＋的最大值为－2.( )► 问题2 若x>0，y>0，且x＋y＝2，则2xy的最大值为1.( )二、基础训练1．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )．A．[0,2]B．[－2,0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]2．若，则的最小值为．3．已知a>0，b>0，且2a＋b＝4，则的最小值为________．6\n4．不等式对任意a，b∈(0，+∞)恒成立，则实数x的取值范围是（）A.（-2,0）B.(-∞,-2)U(0，+∞)C.(-4，2)D.(-∞，-4)U(2，+∞)5．已知，则的最小值为（）A．B．C．D．6．已知正数的最小值为A、B、C、D、7．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为12，则的最小值（）A．B．C．D．4三、课后作业：1．已知a＞0，b＞0，且ln(a＋b)＝0，则＋的最小值是________．2．已知不等式3．若实数a、b满足，则的最小值是4．若对任意x>0，≤a恒成立，求a的取值范围．（五）含绝对值的不等式结论：一、基础训练1．关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 ．2．关于x的不等式|x－1|＋|x－2|≤a的解集为空集，则实数a的取值范围是________6\n3．对任意x∈R，不等式|2－x|＋|3＋x|≥a2－4a恒成立，则a的取值范围是________4．函数的最大值是。5．如果关于x的不等式的解集不是空集，则实数a的取值范围为_____________.二、课后作业：1．对任意实数,若不等式恒成立,则实数的取值范围是()Ak≥1Bk>1Ck≤1Dk<12．不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．3．函数的最小值为（）A．B．C．D．6
