浙江省杭州市重点高中2022届高考数学4月命题比赛参赛试题19全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：如果事件A、B互斥，那么棱柱的体积公式如果事件A、B相互独立，那么其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高棱锥的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高次的概率棱台的体积公式球的表面积公式其中S1，S2分别表示棱台的上、下底面积，h表示棱台的高球的体积公式其中R表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（根据浙江卷改编）已知是虚数单位，则（）A．B．C．D．2．（根据考试说明样卷改编）已知是实数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．(根据广东一模试题改编)已知函数的图像如图所示，则的解析式可能是（）A．B．C．D．4．（根据湖北卷改编）已知数列的前n项和，则（）12\nA．是递增的等比数列B．是递增数列，但不是等比数列C．是递减的等比数列D．不是等比数列，也不单调5．若圆与轴的两交点位于原点的同侧，则实数的取值范围是（）A．B．或开始i=1,s=0s=s+i=i+1输出S结束否是C．或D．或6．（根据辽宁试题改编）如图给出的是计算的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（）A．B．C．D．7．(根据优化方案改编)已知实数满足，若取得最大值时的最优解有无数个，则的值为（）A．1B．2C．0D．8．（根据浙江模拟卷改编）设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x3．又函数g(x)＝|xcos(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在上的零点个数为( )．xyOABF1F2A．5 B．6 C．7 D．89．（根据哈尔滨模拟卷改编）如图，F1，F2是双曲线C：(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线与的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|:|BF2|:|AF2|＝3:4:5，则双曲线的离心率为()A．B．C．2D．10．(根据安徽一模试题改编)对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解12\n，则称点为函数的“拐点”。某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。设函数，则=()A.2022B.2022C.2022D.2022二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．(原创)已知展开式，则的值为．12．函数的最小正周期为．13．(根据北京卷改编)如图，若一个几何体的正视图、侧视图、俯视图相同，且均为面积等于2的等腰直角三角形，则该几何体的体积为．14．（根据江西卷改编）连接抛物线y2＝4x的焦点F与点M(0,1)所得的线段与抛物线交于点A，设点O为坐标原点，则△OAM的面积为__________15．（根据安徽模拟卷改编）已知是一个公差大于0的等差数列，且满足.令，记数列的前项和为，对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值是.16．某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分、答错倒扣5分（每道题都必须回答，但相互不影响）．设某学生对每道题答对的概率都为，则该学生在面试时得分的期望值为分．17．(根据浙江高考题改编)若不等式的解集为，则实数的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本题满分14分）如图，在中，，垂足为，且．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）设为的中点，已知的面积为15，求的长．12\n19．(根据天津卷改编)（本题满分14分）现有4个人去参加春节联欢活动，该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢，掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢，掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢.（I）求这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率；（II）求这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率；（III）用分别表示这4个人中去参加甲、乙项目联欢的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.AGEDCB20．(根据广东卷改编)（本题满分14分）如图，在三棱锥中，，，设顶点在底面上的射影为．（Ⅰ）求证:；（Ⅱ）设点在棱上，且，试求二面角的余弦值．21．(根据温州一模改编)（本题满分15分）如图，在矩形中，12\n分别为四边的中点，且都在坐标轴上，设,．（Ⅰ）求直线与的交点的轨迹的方程；（Ⅱ）过圆上一点作圆的切线与轨迹交于两点，若，试求出的值．22．(根据全国卷改编)（本题满分15分）已知函数（Ⅰ）若，求函数的极小值；（Ⅱ）设函数，试问：在定义域内是否存在三个不同的自变量使得的值相等，若存在，请求出的范围，若不存在，请说明理由？2022年高考模拟试卷数学答题卷选择题（每小题5分，共50分）题号12345678910选项填空题（每小题4分，共28分）12\n11121314151617解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（本题满分14分）如图，在中，，垂足为，且．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）设为的中点，已知的面积为15，求的长．19．（本题满分14分）现有4个人去参加春节联欢活动，该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢，掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢，掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢.（I）求这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率；（II）求这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率；（III）用分别表示这4个人中去参加甲、乙项目联欢的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.DCBAGEDCB20．（本题满分14分）如图，在三棱锥中，，，设顶点在底面上的射影为．（Ⅰ）求证:；（Ⅱ）设点在棱上，且，试求二面角的余弦值．12\n21．（本题满分15分）如图，在矩形中，分别为四边的中点，且都在坐标轴上，设,．（Ⅰ）求直线与的交点的轨迹的方程；（Ⅱ）过圆上一点作圆的切线与轨迹交于两点，若，试求出的值．22．（本题满分15分）已知函数（Ⅰ）若，求函数的极小值；（Ⅱ）设函数，试问：在定义域内是否存在三个不同的自变量使得的值相等，若存在，请求出的范围，若不存在，请说明理由？2022年高考模拟试卷数学参考答案及评分标准12\n一、选择题（本大题共10小题，每小题５分，共5０分）题号１２３４５６７８９10答案ABDDCCABAB二、填空题（本大题共7小题，每小题４分，共28分）11．12．13．14．－15．10016．17．三、解答题（本大题共5小题，共72分）18．（本小题满分１4分）解：（I）由已知得,……………………………………2分则,…………………5分又,故．．…………………7分（II）设,则,由已知得,则,故,,…………………………………10分则，…………………12分由余弦定理得．……………………………………14分19．（本小题满分14分）解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲项目联欢的概率为，去参加乙项目联欢的概率为.设“这4个人中恰有人去参加甲项目联欢”为事件，，则.（Ⅰ）这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率12\n-------------------4分（Ⅱ）设“这4人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数”为事件，，故.∴这4人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率为.-------------------8分(III)的所有可能取值为0,2,4.，所以的分布列是024.-----------------------------------------------------------------------------------------------12分20．（本小题满分１4分）证明：（I）方法一：由平面得，又，则平面，故，…………………………………………3分同理可得，则为矩形，又，则为正方形，故．…………………6分方法二：由已知可得，设为的中点，则12\n，则平面，故平面平面，则顶点在底面上的射影必在，故．（II）方法一:由（I）的证明过程知平面，过作，垂足为，则易证得，故即为二面角的平面角，……………………………9分由已知可得，则，故，则，又，则，………………………………………………………………12分故，即二面角的余弦值为．………………………14分方法二:由（I）的证明过程知为正方形，如图建立坐标系，则，可得，…………………………………………9分则，易知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则由得，…………11分则，即二面角的余弦值为．………………14分21．（本小题满分１5分）解：（I）设，由已知得，则直线的方程为，直线的方程为，………………………4分12\n消去即得的轨迹的方程为．……………………………6分（II）方法一：由已知得，又，则，……………8分设直线代入得，设，则．…10分由得，即，则，……………………12分又到直线的距离为，故．经检验当直线的斜率不存在时也满足．…………………………………15分方法二：设，则，且可得直线的方程为…10分代入得，由得，即，…12分则，故．…………………………15分22．（本小题满分１5分）解：（I）由已知得，…………………………………………2分则当时，可得函数在上是减函数，当时，可得函数在上是增函数，…………………………5分12\n故函数的极小值为．．……………………………………………6分（II）若存在，设，则对于某一实数方程在上有三个不等的实根，…………………………………………………………………8分设，则有两个不同的零点．………………………10分方法一：有两个不同的解，设，则，设，则，故在上单调递增，则当时，即，…………………………………12分又，则故在上是增函数，……………………14分则至多只有一个解，故不存在．………………………15分方法二：关于方程的解，当时，由方法一知，则此方程无解,……………………………12分当时，可以证明是增函数，则此方程至多只有一个解，故不存在．………………………………………………………………………………15分12
