浙江省杭州市重点高中2022届高考数学4月命题比赛参赛试题13学科：高三数学（理科）满分：150分考试时间：120分钟一、选择题。（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1、已知集合，集合，集合，则（）ABCD2、“”是“函数在区间上为减函数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件开始结束是否输出S第3题图S=0k=1k>2022k=k+13、右图是某程序的流程图，则其输出结果为()ABCD4、已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．B．C．D．5、(原创）把函数的图像上向右平移，再把图像上各点的横坐标变为原来的2倍，则所得的图像的一条对称轴方程为（）A、B、C、D、6、设，若，则实数的值为（）A.B.C.D.7、(2022全国卷改编）数列满足，则的前60项和等于（）A、960B、1920C、930D、18308、已知函数，若，则的取值范围是（）A.[3,5)B.[3,)C.(0,3]D.[2,3)9、（2022年江苏一检卷改编）已知函数满足：①定义域为R；②,有9\n；③当时，，,设根据以上信息，可以得到函数的零点个数为（）A、4B、5C、9D、810、（2022年高考自测样卷改编）已知向量满足，的夹角为，。若对每一个确定的，的最大值和最小值分别为，则对任何的，的最小值是（）A.B.C.2D.1二、填空题。（本大题共7小题，共28分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上。）11、复数,,若为纯虚数，则的值为________12、已知某几何体的三视图如下，则该几何体的体积是．正视图侧视图俯视图443（12题图）13、（2022·江苏，4）某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)．所得数据均在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，有________根棉花纤维的长度小于20mm（13题图）.14、已知实数，满足不等式，则的取值范围是15、（2022年浙江五校联考卷）在1，2，3，4，5，6，7的任一排列中，使相邻两数都互质的排列方式种数共有_______________16、（艾青中学2022年模拟）在平面直角坐标平面内,不难得到“对于双曲线（）上任意一点P,若点P在轴、轴上的射影分别为、，则9\n必为定值”.类比于此，对于双曲线上任意一点P,类似的命题为:_______________17、过椭圆的左顶点A做圆的切线，切点为B，延长AB交抛物线于于点C，若点B恰为A、C的中点，则的值为三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18、在锐角△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为，，，若，(1)若，求的大小。(2)若三角形为非等腰三角形，求的取值范围。19、(2022·山东理，18)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘，已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望Eξ.20、如下图所示，平面四边形PABC中，为直角，为等边三角形，现把沿着AB折起，使得垂直，且点M为AB的中点。（1）求证：平面PAB⊥平面PCM（2）若2PA=AB，求直线BC与平面PMC所成角的余弦值。9\nABPC21、（2022.镇海中学高三模拟.21）在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线相交于、两点.（I）设，求的最小值；（II）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由.22、(2022.广东陆丰碣石中学.21）已知函数（1）求函数f(x)的极值；（2）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证.双向细目表题型题号分值考察内容难易度简单中等较难选择题5015集合及其交并补运算√25充要条件的判断√35程序框图及数列求和运算√9\n45立体几何线面位置判断√55三角函数图像伸缩平移变换√65二项式展开以及系数运算√75数列运算√85函数图像，函数值域问题√95函数零点个数判断√105向量运算√填空题28114复数及其运算√124三视图求体积√134统计初步√144线性规划√154排列组合计算√164推理证明以及双曲线的特征推理√174圆锥曲线综合问题√解答题721814三角函数与解三角形√1914概率、分布列、数学期望√2014立体几何证明、求线面角√2115圆锥曲线综合应用√2215函数极值与恒成立问题及不等式证明√2022年高考模拟试卷理科数学参考答案及评分标准一、选择题题号12345678910答案BACBAAABDD二、填空题11、12、1613、3014、15、86416、若P在直线上的射影分别为M、N，则必为定值17、9\n三、解答题18、解：(1)··········2分········3分所以·········4分（a）若,，则.········5分（b）若,,则.·········6分(2)若三角形为非等腰三角形，则且········8分又因为三角形为锐角三角形，故···········10分而··········12分所以············14分19、解：(1)设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5由对立事件的概率公式知P()＝0.4，P()＝0.5，P()＝0.5.红队至少两人获胜的事件有：，，，DEF.········2分由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P()＋P(＋P()＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.········6分(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知、、是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此P(ξ＝0)＝P()＝0.4×0.5×0.5＝0.1，·········7分P(ξ＝1)＝P()＋P()＋P()＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35.·········9\n8分P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15.·········9分由对立事件的概率公式得P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4.···········10分所以ξ的分布列为：ξ0123P0.10.350.40.15·············12分因此E(ξ)＝0×0.1＋1×0.35＋2×0.4＋3×0.15＝1.6.·············14分20、ABPC（1）证明：且交线为AB又为直角所以··········2分故·········3分又为等边三角形，点M为AB的中点所以··········4分又所以·········5分又所以平面PAB⊥平面PCM·········6分（2）假设PA=a，则AB=2a方法一：(等体积法)··············8分而三角形PMC为直角三角形，故面积为·············10分9\n故··················12分所以直线BC与平面PMC所成角的正弦值········13分xyz所以余弦值为·············14分方法二：（向量坐标法）以M点为坐标原点，以MB为x轴，以MC为y轴，且设PA=a,则M(0，0，0),P(-a,0,a),B(a,0,0),C(0,,0)················8分故·假设平面PMC的法向量为则y=0，x=z,令x=1故················11分则直线BC与平面PMC所成角的正弦值,····13分所以余弦值为················14分21、解：（I）依题意,可设,,直线AB的方程为:由··········2分当m=0时的最小值为.·············7分（II）假设满足条件的直线存在,其方程为x=a,AC的中点为,与以AC为直径的圆相交于P,Q,PQ中点为H,则,的坐标为.·············9分9\n…………………13分令=0得.此时为定值.故满足条件的直线存在,其方程为x=…………………15分22、解：（1）因为，x>0，则，………1分当时，；当时，.所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减，所以函数在处取得极大值f（1）=1，无极小值。…………3分（2）不等式即为记所以…………7分令，则，，在上单调递增，，从而，故在上也单调递增，所以，所以.………9分（3）由（2）知：恒成立，即，令，则9
