浙江省杭州市重点高中2022届高考数学4月命题比赛参赛试题1

浙江省杭州市重点高中2022届高考数学4月命题比赛参赛试题1本试卷分第I卷和第II卷两部分．考试时间120分钟，满分150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式：如果事件A,B互斥,那么棱柱的体积公式P(A+B)=P(A)+P(B)V=Sh如果事件A,B相互独立,那么其中S表示棱柱的底面积,h表示棱柱的高P(A·B)=P(A)·P(B)棱锥的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么nV=Sh次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中S表示棱锥的底面积,h表示棱锥的高Pn(k)=Cpk(1－p)n-k(k=0,1,2,…,n)球的表面积公式棱台的体积公式S=4πR2球的体积公式其中S1,S2分别表示棱台的上、下底面积,V=πR3h表示棱台的高其中R表示球的半径第I卷（共50分）？输出开始结束是否（第5题）一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合，，则（）（A）（B）（C）（D）（2）已知且，则是的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（3）若复数(是虚数单位)，则（）（A）（B）（C）（D）（4）（引用）在的展开式中，的幂指数是整数的项共有（）（A）3项（B）4项（C）5项（D）6项17\n（5）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（）（A）（B）（C）（D）（6）（根据宁波市2022届高三上期末测试4题改编）函数则该函数为（）（A）单调递增函数，奇函数（B）单调递增函数，偶函数（C）单调递减函数，奇函数（D）单调递减函数，偶函数（7）（根据2022浙江省高考参考试卷第7题改编）已知中，，．若圆的圆心在边上，且与和所在的直线都相切，则圆的半径为（）（第8题）（A）（B）（C）（D）（8）（引用）某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为的等腰三角形俯视图是半径为的半圆，则该几何体的表面积是（）（A）（B）（C）（D）（9）（根据2022萧山中学3月月考10题改编）已知点是双曲线的左焦点，过且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点，且点在抛物线上，则该双曲线的离心率是（）（A）（B）（C）（D）（第10题）（10）（根据2022届杭州一模17题改编）如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，，若存在最大值，则的取值范围为（）（A）（B）（C）（D）第II卷(共100分)二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分．17\n（11）（引用）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是，那么实数的值为_______▲_____．（12）（引用）记数列的前项和为，且，则_______▲______．（13）将7人分成3组，要求每组至多3人，则不同的分组方法种数是__▲____．（14）已知为直线上一动点，若在上存在一点使成立，则点的横坐标取值范围为_____▲____．（15）函数，在区间上单调递增，则实数的取值范围是_____▲____．（16）（根据09年全国数学联赛题改编）若方程没有实数根，那么实数的取值范围是___▲___．（17）（根据2022浙江六校联盟10题改编）棱长为2的正四面体在空间直角坐标系中移动，但保持点分别在轴、轴上移动，则原点到直线的最近距离为____▲____三、解答题:本大题共5小题,共72分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．（18）（根据北京市东城区08届模拟考改编）（本小题满分14分）在中，角的对边分别为，且．（I）求的值；（II）若，且，求和的值．（19）（本小题满分14分）袋中有大小相同的个编号为、、的球，号球有个，号球有个，号球有个．从袋中依次摸出个球，已知在第一次摸出号球的前提下，再摸出一个号球的概率是．（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）从袋中任意摸出个球，记得到小球的编号数之和为，求随机变量的分布列和数学期望．（20）（引用）（本小题满分14分）如图，在各棱长均为的三棱柱17\n中，侧面底面，．（Ⅰ）求侧棱与平面所成角的正弦值的大小；（第20题）（Ⅱ）已知点满足，在直线上是否存在点，使？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．（21）（根据09年清华大学自主招生试题改编）（本小题满分15分）已知椭圆的左顶点，过右焦点且垂直于长轴的弦长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，过原点与平行的直线与椭圆交于点，求证：为定值．（22）（本小题满分14分）已知函数.（）（Ⅰ）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；（Ⅱ）若在区间上，函数的图象恒在曲线下方，求的取值范围．17\n2022年高考模拟试卷数学（理科）答卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。题目12345678910选项二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。11、12、13、14、15、16、17、三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18、（本题14分）17\n19、（本题14分）（第20题）20、（本题14分）17\n21、（本题15分）17\n22、（本题15分）17\n2022年高考模拟试卷数学（理科）参考答案与评分标准一、选择题:本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，共50分．（1）B（2）A（3）D（4）C（5）C（6）A（7）B（8）B（9）D（10）C二、填空题:本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，共28分．（11）1（12）（13）（14）（15）（16）（17）（1）B．本题考查集合运算．易得，故．（2）A．本题考查充分必要条件．或，故成立，为充分条件；而或，若，则无意义，则为不必要条件．17\n（3）D．本题考查复数的运算．由于，故，整理可得．（4）C．本题考查二项式定理．第项，故当时，的幂指数是整数，共5项．（5）C．本题考查算法程序运算．由题意可知即求时，的最小值，故．（6）A．，且时，单调递增；时，单调递增。所以单调递增。，，所以为奇函数。故选A。（7）B．本题考查解三角形。如图，易得，由于为等腰三角形，故应为中点，即求中点到距离，由面积法可得．（8）B．本题考查三视图．根据三视图可知，几何体为如图所示的半圆锥，则．（9）D．本题考查圆锥曲线几何性质．如图，设抛物线的准线为，作于，双曲线的右焦点为，由题意可知为圆的直径，所以，且，，所以，。由抛物线性质可知，且与相似，所以，即，解得。（10）C。本题考查平面向量运算与基本定理的运用。设射线上存在为，使，交于，，设，，17\n由三点共线可知=1，所以，则存在最大值，即在弧（不包括端点）上存在与平行的切线，所以。（11）1．本题考查线性规划基本知识的应用．如图阴影部分为可行域，为等腰直角三角形，所以，解得．（12）．本题考查数列基本知识．当时，，由，即，所以，．（13）.本题考查排列组合的应用．共可分为两类：每组分别为人，则有人；每组分别为人，则有人；所以共有人．（14）．本题考查直线与圆的位置关系．设，则圆心到直线的距离，由于直线与圆相交，故，即，所以，解得．（15）。本题考查三角函数图像与性质的运用。当函数递增时，，即，所以，解得。（16）．本题考查函数性质与方程思想及数形结合思想。解法一：由题意可知17\n，可设，函数图象(图1)与直线没有交点，则．解法二：如图(2)，在同一坐标系中画出和的图象．显然当是直线与抛物线相切，所以当时，没有交点．故．图1图2（17）。本题考查立体几何。解：如图，若固定正四面体的位置，则原点在以为直径的球面上运动，设中点为，则原点到直线的最近距离等于点到直线的距离减去球的半径，即。三、解答题:大题共5小题，满分72分．（18）本题主要考查正弦、余弦定理,三角公式变换,三角形面积公式及向量运算等基础知识,同时考查运算求解能力。满分14分。解：（I）由正弦定理得，则，…………2分故，可得，即，可得，…………4分又，因此．…………6分17\n（II）解：由，可得，又，故．…………9分又，可得，…………11分所以，即．所以．…………14分（19）本题主要考查排列组合,随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念,同时考查抽象概括能力。满分14分。解：（1）记“第一次摸出号球”为事件，“第二次摸出号球”为事件，…………2分则，…………4分解得；…………6分（2）随机变量的取值为，的分布列为3456…………10分所以，数学期望．…………14分（20）本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系,17\n空间向量的概念与运算等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力。满分14分。解：（Ⅰ)∵侧面底面，作于点，∴平面.又，且各棱长都相等，∴，，.…2分故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，∴，，．……4分设平面的法向量为，则解得.………6分由．而侧棱与平面所成角，即是向量与平面的法向量所成锐角的余角，∴侧棱与平面所成角的正弦值的大小为．…………8分（Ⅱ）∵，而∴又∵，∴点的坐标为．…………10分假设存在点符合题意，则点的坐标可设为，∴．∵，为平面的法向量，∴由，得17\n．…………12分又平面，故存在点，使，其坐标为，即恰好为点．…………14分（21）本题主要考椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。解：（1），设过右焦点且垂直于长轴的弦为，将代入椭圆方程，解得，…………2分故，可得．…………4分所以，椭圆方程为．…………6分（2）由题意知，直线斜率存在，故设为，则直线的方程为，直线的方程为．可得，则．…………8分设，，联立方程组，消去得：，，，17\n则．…………11分设与椭圆交另一点为，，联立方程组，消去得，，所以．…………13分故．所以等于定值．…………15分（22）本题主要考查函数的基本性质、导数的概念、导数的应用等基础知识，同时考查逻辑推理能力和创新意识。满分15分。解：（Ⅰ）在区间上单调递增，则在区间上恒成立．…………3分即，而当时，，故．…………5分所以．…………6分（Ⅱ）令，定义域为.在区间上，函数的图象恒在曲线下方等价于在区间上恒成立.…………8分∵…………9分17\n①若，令，得极值点，，当，即时，在（，+∞)上有，此时在区间上是增函数，并且在该区间上有，不合题意；当，即时，同理可知，在区间上，有，也不合题意；…………12分②若，则有，此时在区间上恒有，从而在区间上是减函数；要使在此区间上恒成立，只须满足，由此求得的范围是．…………14分综合①②可知，当时，函数的图象恒在直线下方.…………15分17