第03节等比数列及其前n项和【考纲解读】考 点考纲内容五年统计分析预测等比数列的概念与运算1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式；2.了解等比数列与指数函数的关系.2022浙江文19；理18；2022浙江理19；2022浙江文10,17；理3；2022浙江文17.1.高频考向:利用方程思想应用等比数列通项公式、前n项和公式求基本量；2.低频考向:等比数列的性质及应用.3.特别关注:（1）与等差数列的综合问题；（2）根据已知递推式构造等比数列求解相关问题.等比数列前n项和及应用1.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式及其应用；2.会用数列的等比关系解决实际问题.2022浙江文17.【知识清单】一．等比数列的有关概念1.等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：,（注意：“从第二项起”、“常数”、等比数列的公比和项都不为零）2．等比数列通项公式为：.说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则.3．等比中项如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）4．等比数列前项和公式一般地，设等比数列的前n项和是，当时，或；当时，（错位相减法）.-17-\n说明：（1）（1）和各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；（3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况.5.等差数列与等比数列的区分与联系(1)如果数列成等差数列，那么数列(总有意义)必成等比数列．(2)如果数列成等比数列，且，那么数列(，且)必成等差数列．(3)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列．数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．(4)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列．对点练习：【2022届浙江省杭州高级中学高三2月模拟】已知数列的前项和为，对任意正整数，，则下列关于的论断中正确的是（）A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.可能是等差数列，但不会是等比数列D.可能是等比数列，但不会是等差数列【答案】C【解析】∵an+1=3Sn，∴Sn+1−Sn=3Sn，∴Sn+1=4Sn，若S1=0，则数列{an}为等差数列；若S1≠0，则数列{Sn}为首项为S1，公比为4的等比数列，∴Sn=S1⋅4n−1，此时an=Sn−Sn−1=3S1⋅4n−2(n⩾2)，即数列从第二项起，后面的项组成等比数列。综上，数列{an}可能为等差数列，但不会为等比数列。本题选择C选项.二．等比数列的相关性质1.等比数列的性质：（1）在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项；-17-\n（2）在等比数列中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列，如：，，，，……；，，，，……；（3）在等比数列中，对任意，，；（4）在等比数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等比中项.也就是：，如图所示：.（5）若数列是等比数列，且公比不为－1，是其前项的和，，那么，，成等比数列.如下图所示：.（6）两个等比数列与的积、商、倒数的数列、、仍为等比数列．（7）若数列是等比数列,则，仍为等比数列．2.公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即，，，…成等比数列，且公比为.3.等比数列的单调性当或时，为递增数列，当或时，为递减数列．4.等差数列和等比数列比较等差数列等比数列定义＝常数＝常数-17-\n通项公式判定方法(1)定义法；(2)中项公式法：⇔为等差数列；(3)通项公式法：(为常数,)⇔为等差数列；(4)前n项和公式法：(为常数,)⇔为等差数列；(5)为等比数列，且，那么数列(，且)为等差数列(1)定义法(2)中项公式法：()⇔为等比数列(3)通项公式法：(均是不为0的常数，)⇔为等比数列(4)为等差数列⇔(总有意义)为等比数列性质(1)若，，，，且，则(2)(3)，…仍成等差数列(1)若，，，，且，则(2)(3)等比数列依次每项和()，即，…仍成等比数列前n项和时，；当时，或.对点练习：1.【2022天津理5】设是首项为正数的等比数列，公比为，则“”是“对任意的正整数，”的（）.A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件-17-\n【答案】C2.【2022届浙江省湖州、衢州、丽水三市高三4月联考】已知等差数列，等比数列的公比为，设，的前项和分别为，．若，则__________．【答案】【解析】，，因为，所以，这是关于的恒等式，所以，解得【考点深度剖析】等比数列也是高考的常考内容，以等比数列的基本公式及基本运算为基础，可考查单一的等比数列问题，但更倾向于与等差数列或其他内容相结合的问题，其中涉及到方程的思想、等价转化的思想、分类讨论的思想等．从思维品质上看更讲究思维的灵活性及深刻性．【重点难点突破】考点1等比数列的定义，通项公式，前项和的基本运算【1-1】【2022全国卷3理】设等比数列满足，，则___________．【答案】-17-\n【1-2】【2022全国卷2理】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）.A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【答案】B【解析】设顶层灯数为，，，解得．故选B.【1-3】【辽宁省凌源二中2022届高三三校联考理】已知数列为等比数列，且，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由等比数列的性质可得：，，结合可得：，结合等比数列的性质可得：，即：.本题选择B选项.【领悟技法】1.等比数列的判定方法-17-\n(1)定义法：对于数列，若，则数列是等比数列；(2)等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列；(3)通项公式法 (均是不为0的常数，)⇔是等比数列．2.求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：在解有关等比数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等比数列的通项公式及前项和公式或，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等比数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．(2)分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当时，；当时，；在判断等比数列单调性时，也必须对与分类讨论．3.特殊设法:三个数成等比数列，一般设为；四个数成等比数列，一般设为.这对已知几数之积,求数列各项,运算很方便.4.等比数列的前项和公式若已知首项和末项，则，或等比数列{an}的首项是，公比是，则其前项和公式为.5.若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．【触类旁通】【变式一】【2022届湖北省武汉市部分学校新高三起点考试】已知等比数列中，，-17-\n，成等差数列，设为数列的前项和，则等于（）A.B.3或C.3D.【答案】B【变式二】【2022北京卷理】若等差数列和等比数列满足，，则_______.【答案】1【解析】由，，则，由，，则，则.故.考点2等比数列的性质【2-1】【2022届河南省中原名校高三第三次质评】设为等比数列的前项和且，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】根据等比数列的前项和公式知（），又，所以，，故选D.【2-2】【2022届四川省双流中学高三9月月考】各项为正数的等比数列中，与的等比中项为,则__________．-17-\n【答案】【解析】由题设，又因为，所以，应填答案.【2-3】【2022山东卷理】已知是各项均为正数的等比数列，且，,（1）求数列的通项公式；（2）如图所示，在平面直角坐标系中，依次连接点，…得到折线，求由该折线与直线，，所围成的区域的面积.【答案】（1）（2）（2）过……向轴作垂线，垂足分别为……，由（1）得-17-\n记梯形的面积为.由题意，所以①又②得所以【领悟技法】1.等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式以及前项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题．2.等比数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用,故应用等比数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．3.应用等比数列的性质要注意结合其通项公式、前项和公式．4.在运用函数判断数列的单调性时，要注意函数的自变量为连续的，数列的自变量为不连续的，所以函数性质不能够完全等同于数列的性质．有些数列会出现前后几项的大小不一，从某一项开始才符合递增或递减的特征，这时前几项中每一项都必须研究．【触类旁通】【变式一】【2022届江苏省泰州中学高三上开学】设正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的值为__________．【答案】6-17-\n【变式二】【2022届重庆市第一中学高三下第二次月考】已知曲线的方程为，过平面上一点作的两条切线，切点分别为,且满足,记的轨迹为，过一点作的两条切线，切点分别为满足,记的轨迹为，按上述规律一直进行下去……，记且为数列的前项和，则满足的最小的是___________。【答案】7考点3等差数列与等比数列的综合应用【3-1】【2022届浙江省温州市高三9月一模】已知数列是公差不为0的等差数列，，数列的前项，前项，前项的和分别为，，，则（）A.B.C.D.【答案】D-17-\n【解析】是公差不为0的等差数列，是以公比不为的等比数列，由等比数列的性质，可得成等比数列，可得，故选D.【3-2】【2022届广东省广州市海珠区高三综合测试一】已知等差数列的公差为，若成等比数列，则前项的和为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】等差数列的公差为，若成等比数列，则，即，解得，，故选B.【3-3】【2022届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】在数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，试求数列的最小值；（3）求证：当时，.【答案】（1）（2）（3）见解析．试题解析：解：（1）由条件得，又，所以-17-\n，因此数列构成首项为2，公比为2的等比数列，从而，因此，．（2）由（1）得，设，则，所以，从而，因此数列是单调递增的，所以．（3）当时，，由（2）知，又，，所以．【领悟技法】1.等差、等比数列性质很多，在高考中以等差中项和等比中项的考查为主，在应用时，要注意等式两边的项的序号之间的关系．2.在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式．方程思想的应用往往是破题的关键．3.解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．4.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．5.解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向、形成解题策略.【触类旁通】【变式一】【2022届陕西省西安市西北工业大学附属中学高三八模】已知等差数列1，，-17-\n，等比数列4，，，则该等比数列的公比为（）A.B.C.或D.10或【答案】C【变式二】【2022天津卷理】已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，.（1）求和的通项公式；（2）求数列的前n项和.【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得，而，所以.又因为，解得.所以.由，可得.由，可得，联立①②，解得，，由此可得.所以的通项公式为，的通项公式为.（2）设数列的前项和为，由，有，，上述两式相减，得.得.所以数列的前项和为.【易错试题常警惕】-17-\n易错典例：设等比数列的前项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则数列的公比q是________．易错分析： 忽视对等比数列中公比的分类讨论致误，即当q＝1时，符合要求．很多考生在做本题时都想当然地认为q≠1.正确解析：①当q＝1时，S3＋S6＝9a1，S9＝9a1，∴S3＋S6＝S9成立．②当q≠1时，由S3＋S6＝S9得∴q9－q6－q3＋1＝0，即(q3－1)(q6－1)＝0.∵q≠1，∴q3－1≠0，∴q6＝1，∴q＝－1.答案 1或－1温馨提醒：(1)等比数列前项和公式是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是必须弄清公比是否可能等于1还是必不等于1，如果不能确定则需要讨论，在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对与分类讨论，防止因忽略这一特殊情形导致解题失误．(2)在等比数列中易忽视每项与公比都不为0.由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.【学科素养提升之思想方法篇】----函数在研究数列中的应用(证明不等式)1.解决数列与函数的两类综合问题的一般思路(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题．(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和，对式子化简变形．2．解决数列与函数综合问题的注意点(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集，而不是某个区间上的连续实数，所以它的图象是一群孤立的点．(2)转化以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是非常容易忽视的问题．(3)利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件的转化．3．在与不等式的证明相结合时，注意构造函数，结合函数的单调性来证明不等式．-17-\n【典例】数列满足：.(1)求的值；(2)求数列的前项和；(3)令求证：数列的前项和满足.【答案】（1）；（2）；（3）见解析．【解析】试题解析：（1）依题，∴；（2）依题当时，，∴，又也适合此式，∴，∴数列是首项为，公比为的等比数列，故；（3）依题由知，，-17-\n，∴，记，则，∴在上是增函数，又即，又且时，，∴即，∴，，…，，即有，∴，即．-17-
