第03节等比数列及其前n项和一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1.【2022届安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会高三上第一次联考】已知等比数列满足，则的值为（）A.1B.2C.D.【答案】A2.已知等比数列的前项和为.若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知可得，解之得,应选D。3.【2022届山东省济宁市高三3月模拟考试】设，“，，为等比数列”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意得，，，为等比数列，因此，，为等比数列，所以“，，为等比数列”是“”的必要不充分条件，故选B.4.【原创题】设等比数列的前项和为，满足，且，，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知得，，又，则，故，，，所以12\n.5.【改编题】函数图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是（）A．B．C．1D．【答案】A6.【2022届广西钦州市高三上第一次检测】我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为（）（结果保留一位小数．参考数据：，）（）A.1.3日B.1.5日C.2.6日D.2.8日【答案】C【解析】设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{an}，其a1=3，公比为，其前n项和为An．莞（植物名）的长度组成等比数列{bn}，其b1=1，公比为2，其前n项和为Bn．则A，Bn=，由题意可得：，化为：2n+=7，解得2n=6，2n=1（舍去）．∴n==1+=≈2.6．∴估计2.6日蒲、莞长度相等，12\n故答案为：2.6．7.【2022届浙江台州中学高三10月月考】等比数列中，已知对任意正整数，，则等于（）A.B.C.D.【答案】C.8.【2022届河北省衡水中学高三上学期二调】设正项等比数列的前项和为，且，若，，则（）A.63或120B.256C.120D.63【答案】C【解析】由题意得，解得或.又所以数列为递减数列，故.设等比数列的公比为，则，因为数列为正项数列，故，从而，所以.选C.9.设等比数列的前项和为，若,,，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由已知得，，，故公比，又，故，又，代入可求得．12\n10.【2022届湖北武汉市蔡甸区汉阳一中高三第三次模拟】已知成等差数列，成等比数列，则的值为A.B.C.D.【答案】C11．【2022届河南省洛阳市高三上尖子生第一次联考】在等比数列中，，是方程的根，则的值为（）A.B.C.D.或【答案】B【解析】由，是方程的根，可得：，显然两根同为负值，可知各项均为负值；.故选：B.12．【2022年福建省三明市5月质量检查】已知数列的前项和为，且，，则（ ）A.B.C.D.【答案】A12\n二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13.【2022届浙江省丽水市高三下联考】已知数列是公比为的单调递增的等比数列，且，，__________；_________．【答案】【解析】，且，解得a1=1，q=2.14.【2022届浙江省ZDB联盟高三一模】已知是等比数列，且，，则__________，的最大值为__________．【答案】5【解析】，即的最大值为．15.【2022届浙江省台州市高三上期末】已知公差不为0的等差数列{an}，若a2+a4=10且a1,a2,a5成等比数列，则a1=__________．an=_________．【答案】1,2n-1.12\n16．已知满足，类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得___________．【答案】．【解析】因为，所以，两式相加可得，又因为，所以．二、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【2022届浙江省丽水市高三下测试】已知数列的相邻两项是关于的方程的两实根，且.（1）求的值；（2）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式.【答案】（1），，（2）【解析】试题分析：(1)由题中所给的递推关系可得，，.(2)由题意可得数列是首项为，公比为-1的等比数列.则.12\n（2）∵，故数列是首项为，公比为-1的等比数列.所以，即.18.【改编题】已知等比数列{}的公比为，且满足，++=，=.（1）求数列{}的通项公式；（2）记数列{}的前项和为，求【答案】（1）=（）;（2）=.【解析】（1）由=，及等比数列性质得=，即=，由++=得+=由得所以，即解得=，或=由知，{}是递减数列，故=舍去，=，又由=，得=，故数列{}的通项公式为=（）………………6分（2）由（1）知=，所以=+①12\n=+++…++②①－②得：=++－=（++）－=－=－,所以=.19．【2022全国卷2】已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，，，.（1）若，求的通项公式；（2）若，求.【答案】(1).(2)或.(2)由(1)及已知得，解得或.所以或.20．已知数列的前项和为，，，．（Ⅰ)求证：数列是等比数列；（Ⅱ)设数列的前项和为，，点在直线上，若不等式对于恒成立，求实数的最大值．12\n【答案】（Ⅰ)详见解析;（Ⅱ).【解析】（Ⅱ)由（Ⅰ)得，因为点在直线上，所以，故是以为首项，为公差的等差数列，则，所以，当时，，因为满足该式，所以所以不等式，即为，令，则，两式相减得，12\n所以由恒成立，即恒成立，又，故当时，单调递减；当时，；当时，单调递增；当时，；则的最小值为，所以实数的最大值是21.【2022届安徽省亳州市二中高三下检测】已知各项均不相等的等差数列满足，且成等比数列．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）当为偶数时，.当为奇数时，.（Ⅱ）由，可得，当为偶数时，.当为奇数时，为偶数，于是12\n22.设数列的前项和为，若存在非零常数，使对任意都有成立，则称数列为“和比数列”．（1）若数列是首项为，公比为的等比数列，判断数列是否为“和比数列”；（2）设数列是首项为，且各项互不相等的等差数列，若数列是“和比数列”，求数列的通项公式．【答案】（1）是，证明见解析；（2）试题解析：（1）由已知，，则．设数列的前项和为，则，．所以，故数列是“和比数列”．（2）设数列的公差为（），前项和为，则，，所以因为是“和比数列”，则存在非零常数，使恒成立．12\n即，即恒成立．所以因为，则，所以数列的通项公式是12
