专题3.1导数概念及其几何意义一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)等于( )A．－eB．－1C．1D．e【答案】B【解析】2．【2022洛阳二练】曲线f(x)＝在点(1，f(1))处切线的倾斜角为，则实数a＝( )A．1B．－1C．7D．－7【答案】C【解析】f′(x)＝＝，又∵f′(1)＝tan＝－1，∴a＝7.3．[2022·河北质检]已知直线y＝kx是曲线y＝lnx的切线，则k的值是( )A．eB．－eC.D．－【答案】C【解析】依题意，设直线y＝kx与曲线y＝lnx切于点(x0，kx0)，则有由此得lnx0＝1，x0＝e，k＝，选C.4．【2022海南文昌模拟】曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为( )A．y＝3x－1B．y＝－3x－1C．y＝3x＋1D．y＝－2x－18\n【答案】A【解析】依题意得y′＝(x＋1)ex＋2，则曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线的斜率为(0＋1)e0＋2＝3，故曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为y＋1＝3x，即y＝3x－1，故选A.5.【2022上饶模拟】若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为( )A．1B.C.D.【答案】B【解析】6.若曲线f(x)＝acosx与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝( )A．－1B．0C．1D．2【答案】C【解析】依题意得，f′(x)＝－asinx，g′(x)＝2x＋b，于是有f′(0)＝g′(0)，即－asin0＝2×0＋b，则b＝0，又m＝f(0)＝g(0)，即m＝a＝1，因此a＋b＝1，选C.7.已知曲线上一点，，则过点P的切线的倾斜角为（）A.30°B.45°C.135°D.165°【答案】B【解析】，所以.由导数的几何意义可得在点处切线的斜率为1，设此切线的倾斜角为，即，因为，所以.故B正确.8.【2022杭州质测】曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为( )A.(1，3)B.(－1，3)C.(1，3)和(－1，3)D.(1，－3)8\n【答案】C【解析】f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.9.【2022石家庄调研】已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为( )A.eB.－eC.D.－【答案】C【解析】10.已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( )A.－1B.0C.2D.4【答案】B【解析】由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，∴f′(3)＝－，∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.11.在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是（）A．（0，0）B．（2，4）C．（，）D．（，）【答案】D【解析】根据切线的倾斜角的大小，求出其切点的坐标，故先设切点的坐标，利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．8\n解：y'=2x，设切点为（a，a2）∴y'=2a，得切线的斜率为2a，所以2a=tan45°=1，∴a=，在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是（，）．故选D．12.若曲线与曲线存在公共切线，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，，函数在区间上是减函数，当时，，函数在区间上是增函数，所以当时，函数在上有最小值所以，故选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13.【2022广东惠州二调】已知直线与曲线相切，则的值为___________．【答案】28\n【解析】试题分析：根据题意，求得，从而求得切点为，该点在切线上，从而求得，即.14．【2022湖北襄阳期中】若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为_______.【答案】15.【2022高考新课标3理数】已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_______________．【答案】【解析】当时，，则．又因为为偶函数，所以所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即．16.若曲线在点处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为3，则．【答案】2【解析】求导得，所以在点处的切线方程为.令得，令得，，所以切线与两条坐标轴围成的三角形的面积，（舍去负值），.三、解答题（本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）8\n17.已知函数的图像在点A(l,f(1))处的切线l与直线x十3y＋2＝0垂直，若数列的前n项和为，求的值.【答案】18.【2022长沙调研】已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角α的取值范围.【答案】(1)3x＋3y－11＝0.(2)∪【解析】(1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，∴当x＝2时，y′＝－1，y＝，∴斜率最小的切线过点，斜率k＝－1，∴切线方程为3x＋3y－11＝0.(2)由(1)得k≥－1，∴tanα≥－1，又∵α∈[0，π)，∴α∈∪.故α的取值范围为∪.19．【2022云南大理月考】设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．8\n【答案】(1)f(x)＝x－.(2)证明见解析，定值为6.【解析】(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，于是解得故f(x)＝x－.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上的任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)．20.如图，从点P1(0，0)作x轴的垂线交曲线y＝ex于点Q1(0，1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；Pn，Qn，记Pk点的坐标为(xk，0)(k＝1，2，…，n).(1)试求xk与xk－1的关系(k＝2，…，n)；(2)求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn|.【答案】(1)xk＝xk－1－1(k＝2，…，n).(2).【解析】(1)设点Pk－1的坐标是(xk－1，0)，∵y＝ex，∴y′＝ex，∴Qk－1(xk－1，exk－1)，在点Qk－1(xk－1，exk－1)处的切线方程是y－exk－1＝exk－1(x－xk－1)，令y＝0，则8\nxk＝xk－1－1(k＝2，…，n).8
