规范练五 数列问题1．已知数列{an}满足an＋2＝qan(q为实数，且q≠1)，n∈N*，a1＝1，a2＝2，且a2＋a3，a3＋a4，a4＋a5成等差数列．(1)求q的值和{an}的通项公式；(2)设bn＝，n∈N*，求数列{bn}的前n项和．解 (1)由已知，有(a3＋a4)－(a2＋a3)＝(a4＋a5)－(a3＋a4)，即a4－a2＝a5－a3，所以a2(q－1)＝a3(q－1)，又因为q≠1，故a3＝a2＝2，由a3＝a1q，得q＝2.当n＝2k－1(k∈N*)时，an＝a2k－1＝2k－1＝2；当n＝2k(k∈N*)时，an＝a2k＝2k＝2.所以，{an}的通项公式为an＝(2)由(1)得bn＝＝.设{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n×，Sn＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n×.上述两式相减得：Sn＝1＋＋＋…＋－＝－＝2－－，整理得，Sn＝4－，n∈N*.所以，数列{bn}的前n项和为4－，n∈N*.2．已知{an}为等差数列，且a2＝－1，a5＝8.(1)求数列{|an|}的前n项和；(2)求数列{2n·an}的前n项和．解 (1)设等差数列{an}的公差为d，因为a2＝－1，a5＝8，所以解得a1＝－4，d＝3，所以an＝－4＋3(n－1)＝3n－7，因此|an|＝|3n－7|＝记数列{|an|}的前n项和为Sn，3\n当n＝1时，S1＝|a1|＝4，当n＝2时，S2＝|a1|＋|a2|＝5，当n≥3时，Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an|＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7)＝5＋＝n2－n＋10.又当n＝2时满足此式，综上，Sn＝(2)记数列{2nan}的前n项和为Tn则Tn＝2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan,2Tn＝22a1＋23a2＋24a3＋…＋2nan－1＋2n＋1an，所以－Tn＝2a1＋d(22＋23＋…＋2n)－2n＋1an由(1)知，a1＝－4，d＝3，an＝3n－7，所以－Tn＝－8＋3×－(3n－7)×2n＋1＝－20－(3n－10)×2n＋1，故Tn＝20＋(3n－10)×2n＋1.3．设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝a－4n－1，n∈N*,且a2，a5，a14构成等比数列．(1)证明：a2＝；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.(1)证明 当n＝1时，4a1＝a－5，a＝4a1＋5，又an>0，∴a2＝.(2)解 当n≥2时，4Sn－1＝a－4(n－1)－1，∴4an＝4Sn－4Sn－1＝a－a－4，即a＝a＋4an＋4＝(an＋2)2，又an>0，∴an＋1＝an＋2，∴当n≥2时，{an}是公差为2的等差数列．又a2，a5，a14成等比数列．∴a＝a2·a14，即(a2＋6)2＝a2·(a2＋24)，解得a2＝3.由(1)知a1＝1.又a2－a1＝3－1＝2，∴数列{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列．∴an＝2n－1.(3)证明 ＋＋…＋＝＋＋＋…＋3\n＝＝<.4．设数列{an}(n＝1,2,3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记数列的前n项和为Tn，求使得|Tn－1|＜成立的n的最小值．解 (1)由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)，从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2，所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n.(2)由(1)得＝，所以Tn＝＋＋…＋＝＝1－.由|Tn－1|＜，得＜，即2n＞1000，因为29＝512＜1000＜1024＝210，所以n≥10，于是，使|Tn－1|＜成立的n的最小值为10.3
