星期四 (数列问题) 2022年____月____日在正项数列{an}(n∈N*)中，Sn为{an}的前n项和，若点(an，Sn)在函数y＝的图象上，其中c为正常数，且c≠1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在正整数M，使得当n＞M时，a1·a3·a5·…·a2n－1＞a101恒成立？若存在，求出使结论成立的c的取值范围和相应的M的最小值；(3)若存在一个等差数列{bn}，对任意n∈N*，都有b1an＋b2an－1＋b3an－2＋…＋bn－1a2＋bna1＝3n－n－1成立，求{bn}的通项公式及c的值．解 (1)Sn＝，n≥2时，Sn－Sn－1＝－.an＝，(c－1)an＝an－1－an，can＝an－1，＝，∴{an}是等比数列．将(a1，S1)代入y＝中，得a1＝c，故an＝.(2)由a1·a3·a5·…·a2n－1＞a101得c···…·＞，∴＞.若＞1，即0＜c＜1时，n(n－2)＞99，得n＞11或n＜－9(舍去)．若＜1，即c＞1时，n(n－2)＜99，得－9＜n＜11.不符合n＞M时，a1·a3·a5·…·a2n－1＞a101恒成立，故舍去，∴c的取值范围是(0，1)，相应的M的最小值为11.(3)由(1)知an＝.由{bn}为等差数列，设bn＝b1＋(n－1)d.b1an＋b2an－1＋b3an－2＋…＋bn－1a2＋bna1＝3n－n－1(n∈N*)．①当n＝1时，b1c＝3－－1＝.②2\n当n≥2时，b1an－1＋b2an－2＋b3an－3＋…＋bn－2a2＋bn－1a1＝3n－1－(n－1)－1.③注意到b2－b1＝b3－b2＝…＝bn－bn－1＝d，①－③得b1an＋d(an－1＋an－2＋…＋a2＋a1)＝3n－3n－1－，将an＝代入上式，得b1＋＝2×3n－1－，整理得＋＝2×3n－1－.④∵④式对一切n(n≥2)恒成立，则必有解得故bn＝10n－9，c＝.2
