专题9.6双曲线【考纲解读】内容要求备注A B C 圆锥曲线与方程 中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质 √ 1．掌握双曲线的定义、标准方程，能够根据条件利用待定系数法求双曲线方程．2．掌握双曲线的几何性质．3．了解双曲线的一些实际应用．【直击考点】题组一常识题1．已知双曲线两个焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点P到F1，F2的距离的差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为__________________．【解析】由已知可知，双曲线的焦点在x轴上，且c＝5，a＝3，∴b＝4，故所求双曲线的标准方程为－＝1.2．已知双曲线－＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为________．【解析】双曲线－＝1的渐近线方程为3x±ay＝0，与已知方程比较系数得a＝2.3．已知双曲线－＝1(a>0)的右焦点为点(3，0)，则该双曲线的离心率等于________．题组二 常错题4．动点P到点A(－4，0)的距离比到点B(4，0)的距离多6，则动点P的轨迹是__________________．【解析】依题意有|PA|－|PB|＝6<8＝|AB|，所以动点P的轨迹是双曲线的右支．5．双曲线的渐近线方程为y＝±x，虚轴长为2，则双曲线的方程为________________________．11\n题组三 常考题6．已知双曲线x2－＝1，则其离心率为________．【解析】因为a＝1，c＝＝2，所以e＝＝2.7．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为________________．【解析】由＝，得＝5，即＝5，所以＝4，得＝2，所以，渐近线方程为y＝±2x.8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的实轴长为4，且双曲线的一条渐近线与直线2x－y＝0平行，则双曲线的方程为____________________．【解析】依题意，2a＝4，＝2，所以a＝2，b＝4，所以双曲线的方程为－＝1.【知识清单】考点1双曲线的定义及标准方程1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．2．双曲线的标准方程标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形考点2双曲线的简单几何性质双曲线的几何性质11\n标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长．a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)考点3直线和双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系：将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交与一点；若即，①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点．【考点深度剖析】除与椭圆有相同的重点及考点之外，在高考中还经常考查双曲线独有的性质渐近线，以双曲线为载体考查方程、性质，也是高考命题的热点．11\n【重点难点突破】考点1双曲线的定义及标准方程【1-1】设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于_______．【答案】24【解析】双曲线的实轴长为2，焦距为＝2×5＝10.据题意和双曲线的定义知，2＝＝＝，∴.∴，∴，∴.【1-2】已知F1，F2为双曲线－＝1的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|＋|AF2|的最小值为_______．【答案】－2【1-3】已知双曲线C：﹣=1的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为_______．【答案】﹣=1【解析】双曲线C：﹣=1的渐近线方程为y＝,∵双曲线C：﹣=1的焦距为10，点P （2，1）在C 的渐近线上,∴2c=10，a=2b,∵c2=a2+b2,∴a2=20，b2=5,∴C的方程为﹣=1．【1-4】与双曲线有共同的渐近线，并且过点A(6,8)的双曲线的标准方程为__________．【答案】11\n【解析】设所求双曲线为，把点(6,8)代入，得,解得λ=-4，∴所求的双曲线的标准方程为．故答案为：．【1-5】双曲线的焦点为,且经过点,则其标准方程为_______．【答案】【思想方法】1.待定系数法求双曲线方程的常用方法(1)与双曲线－＝1共渐近线的可设为－＝λ(λ≠0)；(2)若渐近线方程为y＝±x，则可设为－＝λ(λ≠0)；(3)若过两个已知点则设为＋＝1(mn<0)．2．应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．3．求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a、b、c的关系易错易混．【温馨提醒】1、在焦点三角形中，注意双曲线的定义和正弦定理、余弦定理交汇解题；2、求双曲线方程需要两个独立条件．考点2双曲线的简单几何性质【2-1】已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝，则一条渐近线与实轴所成锐角的值是________．【答案】11\n【解析】∵，∴，即，又，∴,即，∴一条渐近线与实轴所成锐角的值是.【2-2】已知F2、F1是双曲线-=1(a>0，b>0)的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为_______．【答案】2【2-3】斜率为的直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率的取值范围是_______．【答案】【解析】如图,要使斜率为的直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，必须且只需即可,从而有所以有离心率.【2-4】已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是_______．【答案】11\n【2-5】双曲线C:的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于_______．【答案】4【解析】由已知可知渐近线的斜率k=且，即且解得=1，所以c=2,2c=4.【思想方法】1．双曲线的标准方程中对a、b的要求只是a＞0，b＞0易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈(1，)；若a＝b＞0，则双曲线的离心率e＝；若0＜a＜b，则双曲线的离心率e＞.2．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a、b、c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.3．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．4．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b5．渐近线与离心率－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为＝＝＝.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．【温馨提醒】1、充分利用条件列关于的等式或不等式，可得离心率的取值或取值范围；2、双曲线的渐近线是与之间的比值关系，再结合，可得的关系，及离心率的关系，从这点而言，渐近线方程和离心率是有联系的．考点3直线和双曲线的位置关系11\n【3-1】在双曲线上求一点，使到直线的距离最短．【解析】设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为：联立化简得（*），故切线方程为：代入双曲线方程解得（）【3-2】已知直线和双曲线相交于A，B两点，线段AB的中点为M.设直线的斜率为k1(k1≠0)，直线OM的斜率为k2,则k1k2=_______．【答案】【3-3】已知双曲线方程是x2－＝1，过定点P(2，1)作直线交双曲线于P1、P2两点，并使P(2，1)为P1P2的中点，则此直线方程是____________．【答案】4x－y－7＝0【解析】设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则由＝1，＝1，得k＝＝＝4，从而所求方程为4x－y－7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x2－56x＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．【3-4】已知F是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左焦点,B1B2是双曲线的虚轴,M是OB1的中点,过F、M的直线与双曲线C的一个交点为A,且=2,则双曲线C离心率是 .【答案】11\n【3-5】已知函数是坐标原点O为中心的双曲线，在此双曲线的两支上分别取点，则线段的最小值为__________.【答案】【解析】根据双曲线的性质，当直线经过双曲线的中心被双曲线截得的实轴长是线段是PQ的最小值，，设点，则，.【思想方法】1、设直线交双曲线于点两点，则==同理可得这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：11\n2、若遇中点问题，可以利用“点差法”或者韦达定理处理．【温馨提醒】1、直线和双曲线的位置关系可以从方程的角度求解，把交点个数以及范围问题，转化为方程解的个数以及解的范围问题；2、涉及弦长和中点问题时，要考虑“设而不求”技巧．【易错试题常警惕】忽视“判别式”致误典例 (12分)已知双曲线x2－＝1，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A、B两点，且点P是线段AB的中点？易错分析 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，所以在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑“判别式”．致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑“判别式”，导致解题错误．规范解答[失误与防范]1．区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c大小关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c211\n＝a2＋b2.2．双曲线的离心率e∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e∈(0,1)．3．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x，－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x.4．若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．5．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．11
