专题9.6双曲线【基础巩固】一、填空题1．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距是________．【答案】2【解析】由已知，得a2＝7，b2＝3，则c2＝7＋3＝10，故焦距为2c＝2.2．(2022·南京模拟)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为________．【答案】y＝±x【解析】因为2b＝2，所以b＝1，因为2c＝2，所以c＝，所以a＝＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.3．(2022·广东卷改编)已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为________．【答案】－＝14．(2022·苏北四市联考)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，右焦点F到渐近线的距离为2，点F到原点的距离为3，则双曲线C的离心率e为________．【答案】【解析】∵右焦点F到渐近线的距离为2，∴F(c,0)到y＝x的距离为2，即＝2，又b＞0，c＞0，a2＋b2＝c2，∴＝b＝2，又∵点F到原点的距离为3，∴c＝3，∴a＝＝，∴离心率e＝＝＝.5．(2022·南通、扬州、泰州三市调研)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点为M，右焦点为F，过点F7\n作垂直于x轴的直线l与双曲线交于A，B两点，且满足MA⊥MB，则该双曲线的离心率是________．【答案】2【解析】由题意可得AF＝MF，且AF＝，MF＝a＋c，则＝a＋c，即b2＝a2＋ac＝c2－a2，所以e2－e－2＝0(e>1)，解得e＝2.6．(2022·南京师大附中模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆x2＋(y＋2)2＝1没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为________．【答案】(1,2)7．(2022·泰州模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为________．【答案】－＝1【解析】由题意知，圆的半径为5，又点(3,4)在经过第一、三象限的渐近线y＝x上，因此有解得所以此双曲线的方程为－＝1.8．已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2AB＝3BC，则E的离心率是________．【答案】2【解析】由已知得AB＝，BC＝2c，∴2×＝3×2c.又∵b2＝c2－a2，整理得：2c2－3ac－2a2＝0，两边同除以a2得22－3－2＝0，即2e2－3e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)．二、解答题9．(2022·镇江期末)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－)．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0.7\n∴·＝0.10．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，且顶点到渐近线的距离为.(1)求此双曲线的方程；(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若A＝P，求△AOB的面积．解 (1)依题意得解得7\n【能力提升】11．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________.【答案】2【解析】取B为双曲线右焦点，如图所示．∵四边形OABC为正方形且边长为2，∴c＝OB＝2，又∠AOB＝，∴＝tan＝1，即a＝b.又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.12．(2022·苏、锡、常、镇四市调研)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是右支上一点．若△PF1F2是顶角为的等腰三角形，则双曲线C的率心率是________．【答案】7\n【解析】由题意可得PF2＝F1F2＝2c，∠PF2F1＝，则PF1＝2c，由双曲线定义可得PF1－PF2＝2c－2c＝2a，则(－1)c＝a，则双曲线C的离心率是e＝＝.13．设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则PF1＋PF2的取值范围是________．【答案】(2，8)14．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1：y＝2x，l2：y＝－2x.(1)求双曲线E的离心率；(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由．解 (1)因为双曲线E的渐近线分别为y＝2x，y＝－2x，所以＝2，所以＝2，故c＝a，7\n从而双曲线E的离心率e＝＝.由(1)知，双曲线E的方程为－＝1.如图，设直线l与x轴相交于点C.当l⊥x轴时，由S△OAB＝OC·|y1－y2|，得·＝8，即m2＝4|4－k2|＝4(k2－4)．7\n由得(4－k2)x2－2kmx－m2－16＝0.因为4－k2＜0，所以Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)＝－16(4k2－m2－16)．又因为m2＝4(k2－4)，所以Δ＝0，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点．因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.7
