专题9.6双曲线一、填空题1．若实数k满足0＜k＜9，则曲线－＝1与曲线－＝1的________相等．【解析】由0<k<9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x轴上，由＝，得两双曲线的焦距相等．2．已知双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，且经过点(2,2)，则C的方程为________．【解析】由题意，设双曲线C的方程为－x2＝λ(λ≠0)，因为双曲线C过点(2,2)，则－22＝λ，解得λ＝－3，所以双曲线C的方程为－x2＝－3，即－＝1.3．设F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线的离心率为________．【解析】因为∠F1AF2＝90°，故|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝4c2，又|AF1|＝3|AF2|，且|AF1|－|AF2|＝2a，所以|AF1|＝3a，|AF2|＝a，则10a2＝4c2，即＝，故e＝＝(负值舍去)．4．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为________．5．(2022·江南十校联考)已知l是双曲线C：－＝1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2分别是C的左、右焦点，若·＝0，则点P到x轴的距离为________．【解析】由题意知F1(－，0)，F2(，0)，不妨设l的方程为y＝x，点P(x0，x0)，由·＝(－－x0，－x0)·(－x0，－x0)＝3x－6＝0，得x0＝±，故点P到x轴的距离为|x0|＝2.6．已知双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为________．【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则由题意得＞2，∴e＝＝＞＝.即双曲线离心率的取值范围为(，＋∞)．4\n7．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)与椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，则双曲线C的方程为________________．【答案】x2－＝1【解析】易得椭圆的焦点为(－，0)，(，0)，∴∴a2＝1，b2＝4，∴双曲线C的方程为x2－＝1.8．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F1作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A，B，若v＝，则双曲线的渐近线方程为____________．【答案】3x±y＝09．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°，延长AF2交双曲线右支于点B，则△F1AB的面积等于______．【答案】4【解析】由题意可得|AF2|＝2，|AF1|＝4，则|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|＝|BF1|.又∠F1AF2＝45°，所以△ABF1是以AF1为斜边的等腰直角三角形，则|AB|＝|BF1|＝2，所以其面积为×2×2＝4.10．已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．4\n【答案】2二、解答题11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．点M(3，m)在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)求证：·＝0；(3)求△F1MF2的面积．解：(1)∵e＝，∴双曲线的实轴、虚轴相等．则可设双曲线方程为x2－y2＝λ.∵双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为－＝1.(2)证明：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)．∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴·＝0.4\n(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4.由(2)知m＝±.∴△F1MF2的高h＝|m|＝，∴S△F1MF2＝×4×＝6.12．中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求椭圆和双曲线的方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．4
