专题9.5椭圆【考纲解读】内容要求备注A B C 圆锥曲线与方程 中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质 √ 1．了解椭圆的实际背景．2．掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形及简单性质．.【直击考点】题组一常识题1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是________．【解析】由椭圆定义知△ABC的周长等于椭圆长轴长的2倍，所以△ABC的周长是4×2＝8.2．椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的倍，焦距为4，则椭圆的标准方程为________________．3．椭圆＋＝1的离心率为________．【解析】由＋＝1可得a2＝16，b2＝8，∴c2＝a2－b2＝8，∴e2＝＝，∴e＝.题组二 常错题4．已知条件甲：动点P到两定点A，B的距离之和为|PA|＋|PB|＝2a(a>0且a为常数)；条件乙：P点的轨迹是以A，B为焦点，且长轴长为2a的椭圆．则甲是乙的________________(填“充分不必要、必要不充分或充要”)条件．【解析】∵乙推出甲且甲推不出乙，∴甲是乙的必要不充分条件．5．已知椭圆的焦点在坐标轴上，中心在坐标原点，若直线x－2y＋2＝0经过该椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为__________________________．【解析】易知直线与坐标轴的交点为(0，1)，(－2，0)，由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，∴10\na2＝5，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋＝1.题组三 常考题6．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(4，0)，短轴长为6，则a＝________．【解析】依题意2b＝6，所以b＝3，又c＝4，所以a＝＝5.7．直线l经过椭圆的两个相邻顶点，若椭圆中心到l的距离为其长轴长的，则该椭圆的离心率为__________．8．已知圆Q：(x－1)＋y2＝16，动圆M过定点P(－1，0)且与圆Q相切，则圆心M的轨迹方程是________________．【解析】点P(－1，0)在圆Q内，故圆M与圆Q内切．设M(x，y)，圆M的半径为r，则|MQ|＝4－r.又圆M过定点P(－1，0)，所以|MP|＝r，所以|MQ|＝4－|MP|，即|MQ|＋|MP|＝4.由椭圆定义知，圆心M的轨迹是椭圆，且c＝1，a＝2，所以b＝，所以椭圆方程为＋＝1.【知识清单】考点1椭圆的定义及其应用1.椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)代数式形式：集合①若，则集合P为椭圆；②若，则集合P为线段；③若，则集合P为空集．2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，考点2椭圆的标准方程1.椭圆的标准方程：10\n（1）焦点在轴，；（2）焦点在轴，.2．满足条件：考点3椭圆的几何性质椭圆的标准方程及其几何性质条件图形标准方程范围对称性曲线关于轴、原点对称曲线关于轴、原点对称顶点长轴顶点,短轴顶点长轴顶点,轴顶点焦点焦距离心率，其中通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为考点4直线与椭圆的位置关系10\n1.直线与椭圆位置关系的判断(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y，整理得到关于x的方程Ax2＋Bx＋C＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系．2．直线与椭圆的相交长问题：（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或．（2）弦中点问题，适用“点差法”.【考点深度剖析】椭圆是圆锥曲线中最重要的一类曲线，在高考中出现的次数也最多，主要考查椭圆的定义、性质、方程，在解答题中多与直线、向量、轨迹等综合出题．【重点难点突破】考点1椭圆的定义及其应用【1-1】[2022·扬州模拟]已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆的一个动点，如果M是线段F1P的中点，那么动点M的轨迹是________．【答案】椭圆【1-2】已知F1、F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.【答案】3【思想方法】1.涉及到动点到两定点距离之和为常数的问题，可直接用椭圆定义求解．10\n2.涉及椭圆上点、焦点构成的三角形问题，往往利用椭圆定义、勾股定理或余弦定理求解.【温馨提醒】应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2.考点2椭圆的标准方程【2-1】【2022年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（大纲卷）】已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为________．【答案】【解析】由椭圆的定义可得，又因为,所以，解得，又因为，所以，，所以椭圆方程为.【2-2】求满足下列各条件的椭圆的标准方程：(1)长轴是短轴的3倍且经过点；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为；【答案】(1)或 (2)，或 10\n【思想方法】1．求椭圆标准方程的方法求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定参)．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为(A＞0，B＞0且A≠B)，这种形式在解题中更简便．2．椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏，要深刻理解椭圆中的几何量等之间的关系，并能熟练地应用．【温馨提醒】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是：10\n(1)作判断：根据条件判断焦点的位置．(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为．(3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组．(4)求解，得方程．2．(1)方程与有相同的离心率．(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．考点3椭圆的几何性质【3-1】【2022年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（大纲卷）】已知椭圆C：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为________．【答案】【3-2】设是椭圆上一点，是椭圆的两个焦点，________．【答案】10\n【解析】由椭圆方程可知，即，。因为，所以，所以，因为，解得.因为，所以.【思想方法】1.在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c、a、b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用解题；2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.【温馨提醒】1.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a－c)，过焦点垂直于长轴的通径长为等．(2)设椭圆上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处．(3)椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)．(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2.2．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．考点4直线与椭圆的位置关系10\n【4-1】过椭圆左焦点F斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，向量与向量共线，则该椭圆的离心率为________．【答案】【4-2】【2022年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（江西卷）】过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为【答案】【解析】设，则由两式相减变形得：即，从而【思想方法】1.涉及直线与椭圆的基本题型有：（1）位置关系的判断（2）弦长、弦中点问题（3）轨迹问题（4）定值、最值及参数范围问题（5）存在性问题10\n2．常用思想方法和技巧有：（1）设而不求（2）坐标法（3）根与系数关系3.若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式或，求距离．【温馨提醒】1.涉及直线与椭圆的基本题型有：（1）位置关系的判断（2）弦长、弦中点问题（3）轨迹问题（4）定值、最值及参数范围问题（5）存在性问题2．常用思想方法和技巧有：（1）数形结合思想；（2）设而不求；（3）坐标法；（4）根与系数关系.【易错试题常警惕】[失误与防范]1．判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与y2的分母大小．2．注意椭圆的范围，在设椭圆＋＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．10
