专题9.5椭圆【基础巩固】一、填空题1．椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值等于________．【答案】3【解析】当m>4时，m－4＝1，∴m＝5；当0<m<4时，4－m＝1，∴m＝3.2．(2022·苏州调研)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是________．【答案】＋＝1【解析】依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝＝⇒a＝2，b2＝a2－c2＝3，因此其方程是＋＝1.3．若椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离是________．【答案】4【解析】由椭圆定义知PF1＋PF2＝10，又PF1＝6，∴PF2＝4.4．(2022·扬州期末)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．【答案】5．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为________．【答案】【解析】如图，由题意得，BF＝a，OF＝c，OB＝b，OD＝×2b＝b.7\n在Rt△OFB中，OF×OB＝BF×OD，即cb＝a·b，即a＝2c，故椭圆离心率e＝＝.6．椭圆ax2＋by2＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为________．【答案】【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则ax＋by＝1，ax＋by＝1，即ax－ax＝－(by－by)，＝－1，＝－1，∴×(－1)×＝－1，∴＝.7．(2022·昆明质检)椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是________．【答案】(－3,0)或(3,0)8．(2022·苏、锡、常、镇四市调研)已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．【答案】【解析】设P(x，y)，则·＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，①将y2＝b2－x2代入①式解得7\nx2＝＝，又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，∴e＝∈.二、解答题9．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且MN＝5F1N，求a，b.10．(2022·苏北四市调研)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右准线方程为x＝4，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线l经过点A，且点F到直线l的距离为.7\n(1)求椭圆C的标准方程．(2)将直线l绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线时，试确定直线l的斜率．－2)，联立方程组得7\n解得代入椭圆解得k＝或k＝－，又由题意知，y＝<0得k>0或k<－，所以k＝.【能力提升】11．椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，若F关于直线x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为________．【答案】－112．(2022·盐城中学模拟)已知直线l：y＝kx＋2过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的上顶点B和左焦点F，且被圆x2＋y2＝4截得的弦长为L，若L≥，则椭圆离心率e的取值范围是________．【答案】【解析】依题意，知b＝2，kc＝2.设圆心到直线l的距离为d，则L＝2≥，解得d2≤.又因为d＝，所以≤，解得k2≥.7\n于是e2＝＝＝，所以0＜e2≤，解得0＜e≤.13．椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是________．【答案】14．(2022·南京模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点P(－1，－1)，c为椭圆的半焦距，且c＝b.过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l1的斜率为－1，求△PMN的面积；(3)若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程．解 (1)由条件得＋＝1，且c2＝2b2，所以a2＝3b2，解得b2＝，a2＝4.所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)设l1的方程为y＋1＝k(x＋1)，联立消去y得(1＋3k2)x2＋6k(k－1)x＋3(k－1)2－4＝0.因为P为(－1，－1)，7\n解得M.当k≠0时，用－代替k，7
