专题9.5椭圆一、选择题1．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则椭圆C的方程是_______.【解析】依题意，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，所以解得a2＝9，b2＝8.故椭圆C的方程为＋＝1.2．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为F1，F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等差数列，则此椭圆的离心率为_______.【解析】由题意可得2|F1F2|＝|AF1|＋|F1B|，即4c＝a－c＋a＋c＝2a，故e＝＝.3．已知圆C1：x2＋2cx＋y2＝0，圆C2：x2－2cx＋y2＝0，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，若圆C1，C2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是_______.4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)上的动点到焦点的距离的最小值为－1.以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切，则椭圆C的方程为_______.【解析】由题意知a－c＝－1，又b＝＝1，由得a2＝2，b2＝1，故c2＝1，椭圆C的方程为＋y2＝15．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是_______.【解析】 根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离和为4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝≥，所以1≤b＜2，所以e＝＝＝.因为1≤b＜2，所以0＜e≤.4\n6．已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点，·的最大值、最小值分别为_______.7．若椭圆的方程为＋＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝________.【答案】4或8【解析】由题可知c＝2.①当焦点在x轴上时，10－a－(a－2)＝22，解得a＝4.②当焦点在y轴上时，a－2－(10－a)＝22，解得a＝8.故实数a＝4或8.8．点P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限时，P点的纵坐标为______．【答案】【解析】由题意知，|PF1|＋|PF2|＝10，|F1F2|＝6，S△PF1F2＝(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)×1＝|F1F2|·yP＝3yP＝8，所以yP＝.9．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率等于，其焦点分别为A，B.C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC中，的值等于________．【答案】3【解析】在△ABC中，由正弦定理得＝，因为点C在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA|＋|CB|＝2a，而|AB|＝2c，所以＝＝＝3.10.如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．4\n【答案】二、解答题11．如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.(1)若点C的坐标为，且BF2＝，求椭圆的方程；(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．解：设椭圆的焦距为2c，则F1(－c,0)，F2(c,0)．(1)因为B(0，b)，所以BF2＝＝a.又BF2＝，故a＝，即a2＝2.因为点C在椭圆上，所以＋＝1，解得b2＝1.故所求椭圆的方程为＋y2＝1.(2)因为B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上，所以直线AB的方程为＋＝1.解方程组得所以点A的坐标为.又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为.因为直线F1C的斜率为＝，直线AB的斜率为－，且F1C⊥AB，所以4\n·＝－1.结合b2＝a2－c2，整理得a2＝5c2.故e2＝.因此e＝(负值舍去)．12.已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．由|AB|＝，得＝，解得b2＝3.故椭圆E的方程为x2＋4y2＝12，即＋＝1.4
