专题3.5导数的综合应用A基础巩固训练1.定义在区间[0,1]上的函数f(x)的图象如图所示，以为顶点的△ABC的面积记为函数S(x)，则函数S(x)的导函数的大致图象为（）【答案】D【解析】2.定义在R上的函数，满足,若且,则有()A.B.C.D.不能确定【答案】A【解析】由，可知函数关于对称且递增，递减.由若且,所以的位置关系只有两种.若.则成立.若.则.根据对称性可得.综上结论成立.10\n3.【2022河北武邑三调】已知是定义在上的偶函数，其导函数为,若，且，则不等式的解集为（）A．B．C.D．【答案】A【解析】可取特殊函数，故选A.4．己知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】5.【2022山西大学附中二模】设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令.由题意知存在唯一整数，使得在直线10\n的下方.，当时，函数单调递减，当，函数单调递增，当时，函数取得最小值为.当时，，当时，，直线过定点，斜率为，故且，解得.B能力提升训练1．【四川成都树德中学高三模拟】若方程在上有解，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．∪【答案】A【解析】方程在上有解，等价于在上有解，故的取值范围即为函数在上的值域，求导可得，令可知在上单调递增，在上单调递减，故当时，，故的取值范围.2．【2022四川泸州四诊】已知函数，关于的不等式只有两个整数解，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A10\n∴当f(x)⩾ln2时,函数有两个整数点1,2,当时，函数有3个整数点1，2，3，∴要使f(x)>−a有两个整数解，则，即，本题选择A选项.3．【2022广东惠州二调】已知定义在上的函数满足：函数的图象关于直线对称，且当成立(是函数的导函数),若，，,则的大小关系是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】∵函数的图象关于直线对称，∴关于轴对称，∴函数为奇函数.因为，∴当时，，函数单调递减，当时，函数单调递减.10\n，，，，故选A.4.已知函数是偶函数，是它的导函数，当时，恒成立，且，则不等式的解集为.【答案】5．已知函数，．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若函数有两个零点，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）当时，上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）①当上单调递减；②当..∴函数在上单调递减，在上单调递增10\n综上：当上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增（Ⅱ）当由（Ⅰ）得上单调递减，函数不可能有两个零点；当a>0时，由（Ⅰ）得，且当x趋近于0和正无穷大时，都趋近于正无穷大，C思维拓展训练1.设函数有两个极值点，若点为坐标原点，点在圆上运动时，则函数图象的切线斜率的最大值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】因为，所以，又因为点为坐标原点，所以,，，，,又点在圆上运动，所以,,10\n表示是圆上动点与原点连线的斜率，由几何意义可求得的最大值为，因此的最大值为，故选D.2．已知函数对于使得成立，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B3.若不等式对任意的，恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【解析】根据题意，得关于b的函数：，这是一个一次函数，要使对任意的恒成立，则：，即有：对任意的恒成立，则有：，可令函数，求导可得：，发现有：，故有：．10\n4．【2022安徽马鞍山二模】已知函数．（Ⅰ）证明曲线上任意一点处的切线斜率不小于2；（Ⅱ）设，若有两个极值点，且，证明：．【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析【解析】试题分析：(Ⅰ)先求导函数，只需证明成立即可；（Ⅱ）令，，可知两根为，结合韦达定理可化简得，研究函数的单调性，可证结论.试题解析：（Ⅰ）因为，所以切线斜率，当且仅当时取得等号；（Ⅱ），，当时，，函数在上递增，无极值．当时，，从而有两个极值点，且，10\n，即，构造函数，，所以在上单调递减，且．故．5．【2022重庆二诊】已知曲线在点处的切线与直线平行，．（1）求的值；（2）求证：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ），由题；（Ⅱ），，，故在和上递减，在上递增，①当时，，而，故在上递增，，即；②当时，，令，则10\n故在上递增，上递减，，即；综上，对任意，均有.10
