江苏版2022年高考数学一轮复习专题9.3圆的方程讲

专题9.3圆的方程【考纲解读】要求内容备注ABC1．掌握确定圆的几何要素．圆的标准平面解析几√2．掌握圆的标准方程与一般方程．方程与一何初步般方程【直击考点】题组一常识题221．圆x＋y－4x＋6y＝0的圆心坐标是______________．22【解析】圆的方程可化为(x－2)＋(y＋3)＝13，所以圆心坐标是(2，－3)．2．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为____________________．【解析】∵易得线段AB的中点(1，1)即为圆心，线段的端点为(0，2)，(2，0)，∴圆的半径r＝2，22∴圆的方程为(x－1)＋(y－1)＝2.223．若点(1，1)在圆(x－a)＋(y＋a)＝4的内部，则实数a的取值范围是____________．22222【解析】因为点(1，1)在圆(x－a)＋(y＋a)＝4的内部，所以(1－a)＋(1＋a)<4，即a<1，故－1<a<1.题组二常错题2224．若方程x＋y＋ax＋2ay＋2a＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是______________．2222222【解析】∵方程x＋y＋ax＋2ay＋2a＋a－1＝0表示圆，∴a＋(2a)－4(2a＋a－1)>0，解得－2<a<.32225．若方程x＋y＝a表示圆，则圆的半径为____________．【解析】|a|题组三常考题6．圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是____________．22【解析】由题意可得圆的半径为2，则圆的方程为(x－1)＋(y－1)＝2.2227．若方程ax＋(3a－2)y＋4x＋8y＋5＝0表示圆，则a＝________．1\n228．若圆x＋y－4x＋6y－5＝0的圆心在直线2x＋ay－1＝0上，则a＝________．【解析】圆心为(2，－3)，依题意有2×2＋(－3)a－1＝0，得a＝1.【知识清单】考点1求圆的方程1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．2．圆的标准方程222(1)若圆的圆心为C(a,b),半径为r，则该圆的标准方程为：(xa)(yb)r．222(2)方程(xa)(yb)r表示圆心为C(a,b),半径为r的圆．3．圆的一般方程22(1)任意一个圆的方程都可化为：xyDxEyF0.这个方程就叫做圆的一般方程．22(2)对方程：xyDxEyF0.22DE122①若DE4F0，则方程表示以(，)为圆心,DE4F为半径的圆；22222DE②若DE4F0，则方程只表示一个点(，)；2222③若DE4F0，则方程不表示任何图形．4.点A(x，y)与⊙C的位置关系00222(1)|AC|<r⇔点A在圆内⇔(x－a)＋(y－b)r；00222(2)|AC|＝r⇔点A在圆上⇔(x－a)＋(y－b)r；00222(3)|AC|>r⇔点A在圆外⇔(x－a)＋(y－b)r.00考点2圆的方程综合应用2221.圆的标准方程为：(xa)(yb)r22222．圆的一般方程．：xyDxEyF0（DE4F0）.AxByC003.点P(x,y)到直线l:AxByC0的距离：d.00022AB2\n【考点深度剖析】圆是常见曲线，也是解析几何中的重点内容，几乎每年高考都有一至二题，主要以填空形式出现，难度不大，主要考查圆的方程(标准方程、一般方程)及圆的有关性质【重点难点突破】考点1求圆的方程【1-1】求圆心在x轴上，半径为5，且过点A（2，-3）的圆的方程.2222【答案】(x2)y25或x(y6)25.【解析】【1-2】已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,2),且圆心在l:xy10上,求圆心为C的圆的标准方程．22【答案】(x3)(y2)25【解析】222（1）法一（待定系数法）、设圆的标准方程为：(xa)(yb)r，则由题意得：222(1a)(1b)r①222(2a)(2b)r②.ab10③②－①得：a3b30…………………………………………④⑤⑥③－④得：b2，代入④得：a3.2将a3,b2代入①得：r25.22所以所求圆的标准方程为：(x3)(y2)25.法二、由点斜式可得线段AB的垂直平分线的方程为：x3y30.因为圆心在l:xy10上，所以线段AB的垂直平分线与直线l:xy10的交点就是圆心.x3y30x3解方程组得，所以圆心为C(3,2).xy10y222圆的半径rAC(31)(21)5，22所以所求圆的标准方程为：(x3)(y2)25.3\n【1-3】ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,3),C(2,8),求它的外接圆的方程．22【答案】xy8x6y0【思想方法】1.求圆的方程，采用待定系数法：①若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程．②若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径，可选择圆的一般方程．2.在求圆的方程时，常用到圆的以下几何性质：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任一弦的垂直平分线上．【温馨提醒】求圆的标准方程，可用待定系数法，也可直接求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程；求圆的一般方程，一般都用待定系数法．考点2圆的方程综合应用22【2-1】(2022.无锡模拟)在圆xy2x6y0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为_______.【答案】5222【解析】由题意，AC为直径.设圆心为F，则FEBD，圆的标准方程为x1y310，故311F1,3，由此，易得：AC210，又kEF2，所以直线BD的方程为yx1，F到BD1021132的距离为5，由此得，BD25.5211所以四边形ABCD的面积为SACBD25210102.224\n2222【2-2】P(x，y)在圆C：(x－1)＋(y－1)＝1上移动，试求x＋y的最小值．【答案】3222222【解析】由已知C(1，1)得OC＝2，则OPmin＝2－1，即(xy)min＝2－1.所以x＋y的最小值2为(2－1)322.【2-3】设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆心到直线5l:x2y0的距离为，求该圆的方程．52222【答案】(x1)(y1)2或(x1)(y1)2【思想方法】1.确定圆的方程常用待定系数法，其步骤为：一根据题意选择标准方程或一般方程；二是根据题设条件列出方程组；三是由方程组求出待定的系数，代入所设的圆的方程；2.在求圆的方程时，常用到圆的以下几个性质：一是圆心在过切点且与切线垂直的直线上；二是圆心在任一弦的中垂线上；3．解方程组时，把所求的值代入检验一下是否正确.【温馨提醒】在圆的综合性问题中，往往需要利用圆的方程来确定圆心坐标和半径，根据图形应用圆的几何性质.应用距离公式及基本不等式等，解决最值问题.【易错试题常警惕】[失误与防范]1．求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．2．过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．5