12月月考【前八章内容】测试时间：120分钟班级：姓名：分数：试题特点：本套试卷重点考查函数基本性质、指对幂函数图像及其性质、三角函数及解三角形、导数及其应用、平面向量及其应用、数列、不等式、立体几何、直线与圆的方程、圆锥曲线等．在命题时，注重考查基础知识如第1-8，13-15及17-20题等．讲评建议：评讲试卷时应重视常用数学思想与方法的渗透，如集合与对应思想、函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想、整体思想等；关注学生计算能力、空间想象能力的培养．试卷中第1，4，6，12，19，21各题易错，评讲时应重视．一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：由题意得，根据集合并集的运算可知，故选D．2．已知直线与平行，则实数的值是（）A．1B．C．或2D．1或【答案】A【名师点睛】当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．3．下列函数中，即是单调函数又是奇函数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：∵为奇函数，也满足在上单调递增，符合题意．故选D．考点：函数的单调性，奇偶性．13\n4．一个几何体的三视图是一个正方形，一个矩形，一个半圆，尺寸大小如图所示，则该几何体的表面积是（）A．B．C．D．【答案】B5．已知双曲线的左、右焦点分别为，且焦点与椭圆的焦点相同，离心率为，若双曲线的左支上有一点到右焦点的距离为为的中点，为坐标原点，则等于A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可得，双曲线方程为，左、右焦点分别为F1、F2，左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N是MF2的中点，连接MF1，ON是△MF1F2的中位线，∴ON∥MF1，，∵由双曲线的定义知，MF2−MF1=2×5，∴MF1=8．ON=4．本题选择D选项．6．已知，若向量共面，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可知，存在实数，使，则，解得．故选B．13\n7．若直线过圆的圆心，则实数的值为()A．B．1C．D．3【答案】C【解析】圆的圆心为(-1，2)．∴，解得．故选C．8．（）A．1B．2C．4D．8【答案】A9．函数的定义域是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：∵，∴，∴函数的定义域为：．10．已知直线与圆交于两点且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选B．【名师点睛】本题主要考查了数量积的定义、直线与圆相交时的弦长问题．直线与圆相交时利用13\n可建立等式求参数．在求交线或切线时要注意直线斜率不存在的情况．11．已知二面角的大小为，，，则下列四种位置关系中，一定不成立的是A．B．C．与平面所成的角等于D．与平面所成的角等于【答案】B12．已知函数是定义在上的奇函数，且在区间上是增函数，若＜，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：∵，∴，∴不等式可化为，即，又函数为奇函数，则．∵函数为增函数，∴，解得，故选C．考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性；3、不等式的解法．【思路点晴】解答时充分借助，即是互为相反数将所给不等式进行化简，然后再运用函数的单调性与奇偶性将函数符号和对数符号去掉，从将不等式进行合理的转化与化归，最后达到求解的目的．二、填空题（每题5分，满分20分）13．已知实数满足，则的最大值为______________．【答案】413\n【解析】试题分析：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，由图所知，当目标函数经过点时，取得最大值，即．考点：简单的线性规划问题．【方法点晴】线性规划是高中教材中运用数形结合的良好沃土，解答这类问题的关键是精准地画出不等式组所表示的平面区域，然后平行移动目标函数所表示的动直线，结合所画图形的特征及欲求最值的特点，数形结合将符合条件的点代入求出其最值．14．已知非零向量，满足：且，则向量与的夹角为__________．【答案】（或）15．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知三个内角成等差数列，且A为等差中项，若a＝3，b＝5，则sinB＝________．【答案】【解析】由三个内角B，A，C依次成等差数列，∴A＝，根据正弦定理sinB＝16．点为正方体的内切球球面上的动点，点为上一点，，若球的体积为，则动点的轨迹的长度为__________．【答案】13\n【名师点睛】此题困难，首先要明确M的轨迹，通过题意可知M为DHC与内切球的交线是解题关键，然后根据几何关系求出相应线段长度即可．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知函数的部分图象，如图所示．（I）求函数解析式；（II）若方程在有两个不同的实根，求m的取值范围．13\n【答案】（I）（II）【解析】试题分析:（I）由图象结合五点法作图得到求函数解析式；（II）方程根的个数问题转化为图象的交点个数问题．试题解析：（I）由图可知A=1，=⋅=−，∴ω=2．再根据五点法作图可得2⋅+φ=，∴φ=，∴f(x)=sin(2x+)．（II）由（I）及图知，方程f(x)=sin(2x+)=m在[−，]有两个不同的实根，可得直线y=m和f(x)的图象在[−，]有两个不同的交点．由于f(x)在[−，]、[，]有上单调递减，在在[，]上单调递增，f()=，f()=0，∴．18．（本小题满分12分）中，角的对边分别是，满足．（I）求角的值；（II）若且，求的取值范围．【答案】（I）（II）【解析】（I）由已知得化简得，故．13\n（II）∵，∴，由正弦定理故-∵，∴，∴．【名师点睛】本题主要运用三角恒等变换，熟练运用三角和差公式以及二倍角公式，然后对求三角形有关边的线性运算的最值问题，通常是利用正弦定理将其转化为角的问题，借助三角函数来进行最值解答，在运算中要注意角度的取值范围．19．（本小题满分12分）在多面体中，四边形与均为正方形，平面，平面，且．（I）求证：平面；（II）求二面角的余弦值．【答案】（I）见解析（II）试题解析：解：（I）证明：由题意可得，，∴平面，∵，∴平面，而平面，∴．如图，连接，∵平面，平面，∴，∴四边形为直角梯形，设，则依题意，13\n，∴，，，∴．∴，又，，∴平面；（II）解：由（I）知两两垂直，以分别为轴建立空间直角坐标系，设，弦值为．20．（本小题满分12分）已知等差数列的公差，首项，，，成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和；（Ⅲ）为数列的前项和，比较与的大小．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．13\n【解析】试题分析：（Ⅰ）把已知条件表示出来，有首项和公差表示并解出，可得通项公式；（Ⅱ）考虑到是周期数列，周期为3，因此数列的求和可采用分组求和法，可三项一组并项求和．（Ⅲ）先用裂项相消法求得，然后作差得在时是递增的，即，对再比较后可得．试题解析：（Ⅰ）由已知，则．又∵，∴，∴（Ⅱ）设，∴（Ⅲ）．设，，∵．当时，，∴当时，单调递增，∴，而13\n，∴时，，经检验，当时，仍有综上，．21．（本小题满分12分）如图，已知抛物线，过直线上任一点作抛物线的两条切线，切点分别为．（I）求证：；（II）求面积的最小值．【答案】（I）见解析（II）面积取最小值，同理可得，即，然后求最值即可．试题解析：（I）设，的斜率分别为，过点的切线方程为由，得，∴∴（II）由（I）得，∴13\n综上，当时，面积取最小值．【名师点睛】直线与抛物线相交问题处理规律（I）凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用韦达定理，避免求交点坐标的复杂运算．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．（II）对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图象结合几何性质做出解答．并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用．22．（本小题满分12分）已知函数在点处的切线方程为．（I）求，的值；（II）设函数（），求在上的单调区间；（III）证明：（）．【答案】（I）；（II）见解析；（III）见解析，然后把所得式子两边分别相加可得不等式成立．试题解析：（I）∵，∴，依题意得解得∴．（II）由（I）知，∴故函数在的单调性为：当时，的递减区间为；13\n当时，的递减区间为，递增区间为；当；当（III）由（II）知时，∴，即，令，得，即，∴，上式中n=1，2，3，…，n，然后n个不等式相加得（）．故不等式成立．【名师点睛】对于在函数中的数列不等式的证明，一般要用到前面所得到的函数的性质，构造合适的函数，再通过取特殊值的方法进行证明，在证明中还可能用到数列求和的常见方法，对于这种综合题的解法，要在平时要多观察、多尝试，做好相应的训练．13
