11月月考【前七章内容】测试时间：120分钟班级：姓名：分数：试题特点：本套试卷重点考查函数基本性质、指对幂函数图像及其性质、三角函数及解三角形、导数及其应用、平面向量及其应用、数列、不等式、立体几何等．在命题时，注重考查基础知识如第1-9，13-15及17-20题等；注重考查知识的交汇，如第1，11-13等．讲评建议：评讲试卷时应重视常用数学思想与方法的渗透，如集合与对应思想、函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想、整体思想等；关注学生计算能力、空间想象能力的培养．试卷中第1，4，7，17，10，12，18，22各题易错，评讲时应重视．一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，，则()A.B.C.D.【答案】C【解析】.所以,.故选C.考点：1、不等式的解法；2、集合的交集与并集运算．2．在中，，则等于（）A.B.C.D.【答案】C考点：余弦定理.3．已知，，，则的大小关系是（）A．B．C．D．15\n【答案】D【解析】∵，，，可知则的大小关系是，选D．4．已知非零向量满足，则与的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：由，得，即，故，得，故选C.考点：向量夹角【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cosθ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义．(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简．5．在下列区间中，函数的零点所在大致区间为（）A.B.C.（）D.（）【答案】B6．已知函数，其部分图像如下图，则函数的解析式为（）15\nA.B.C.D.【答案】B【解析】由图知因为，所以，选B.考点：三角函数的图象变换．7．设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】A点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等。8．若实数满足不等式组，则的最大值是（）A．15B．14C．11D．1015\n【答案】B【解析】考点：简单的线性规划问题．【方法点晴】线性规划是高中教材中运用数形结合的良好沃土，解答这类问题的关键是精准地画出不等式组所表示的平面区域，然后平行移动目标函数所表示的动直线，结合所画图形的特征及欲求最值的特点，数形结合将符合条件的点代入求出其最值．9．三棱锥中，已知，点是的重心，且，则的最小值为（）A．2B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：由题设条件知当三棱锥为正四面体时最小，由，设正四面体的棱长为，则，解得，∴，故选A．考点：1、空间几何体的体积；2、向量的数量积运算．10．一个几何体由多面体和旋转体的整体或一部分组合而成，其三视图如图所示，则该几何体的体积是（）15\nA．B．C．D．【答案】B【解析】考点：1、空间几何体的三视图；2、空间几何体的体积．11．函数的图象大致是（）【答案】C15\n考点：函数图像【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质．(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究．12．已知函数的两个极值分别为和，若和分别在区间与内，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C表示可行域内的点到定点连线的斜率，其取值范围为，选C.二、填空题（每题5分，满分20分）13．在中，角所对边分别为，若，则__________．【答案】【解析】又A为锐角，所以A=14．若为偶函数，则的解集为_____________．【答案】【解析】15\n试题分析：由为偶函数可得，∴．∵上为增函数，∴，∴函数在上为增函数，∴等价于，即，∴，∴．考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性．【方法点睛】若在定义域上（或某一区间）是增（减）函数，则“”等价于“（）”，在解决“与抽象函数有关的不等式”问题时，可利用上式“脱去”函数符号“”，化为一般不等式求解，但无论如何都必须在同一单调区间内进行．需要说明的是，若函数不等式一边没有“”而是常数，应将常数转化为函数值．15．在梯形中，,,与相交于点，则__________．【答案】16．对于给定的正整数和正数，若等差数列，…满足，则的最大值为___________．【答案】【解析】试题分析：∵数列是等差数列，∴，∴．∵15\n，即，关于的二次方程有解，∴，化简整理，得，∴，∴．考点：等差数列的性质．【方法点睛】求非等差数列中的前项和的最值，考虑途径主要有：（1）利用等差或等比的相关性质求出关于的表达式，通过求函数的最值来解决；（2）根据数列各项的变化规律，确定出数列各项间正负关系，也可顺利确定出其最值．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）【2022广东省珠海市九月模拟】中，角的对边长分别为，满足．(1)求角的大小；(2)若，，求的面积．【答案】(1);(2)的面积为.试题解析：(1)由得即即，15\n故(2)若，则由知故是为直角的直角三角形的面积为．18．（本小题满分12分）已知数列的首项，当时，，数列满足（）.（1）求证：数列是等差数列，并求的通项公式；（2）若，如果对任意，都有，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）或.【解析】试题分析：可，解不等式，即可求出结果.试题解析：（1）证明：当时，∵，∴，∴是等差数列.∴.（2）∵，∴，根据单调性可知.15\n令是关于的一次函数，单调递增，∴当时，即可，∴，∴或.19．如图所示的多面体中，是平行四边形，是矩形，面，，.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若，求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）试题解析：解：（Ⅰ）证明：在平行四边形中，，，由余弦定理，得，从而，故.可得为直角三角形且，又由平面，平面，得.又，所以平面.由平面，得平面平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得在中，，，又由，设，，由平面，，15\n设平面的法向量为，得所以令，得，又因为，所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.点睛：本题主要考查余弦定理和勾股定理解三角形，考查面面垂直的证明思路和方法，考查利用向量法求线面角的正弦值.要证明面面垂直，则通过线面垂直来证明，要证明线面垂直，则是通过线线垂直来证明，在证明线线垂直的过程中，可利用勾股定理或者线面垂直来证.空间向量法求解的过程主要注意坐标和法向量不要求错.20．（本小题满分12分）设函数．（I）若，求证；（II）若对任意，都有，求的最小值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）3．15\n【解析】＝，∴．（II）∵，∵，∴，∴，∴，∴使恒成立的的最小值是3．考点：1、不等式的证明；2、不等式恒成立问题．【技巧点睛】解决恒成立问题的关键是将其进行等价转化，使之转化为函数的最值问题，或者区间上的最值问题，使问题得到解决．具体转化思路为：若不等式在区间上恒成立，则等价于在区间上的最小值大于；若不等式在区间上恒成立，则等价于在区间上最大值小于．21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，侧面是边长为2的等边三角形，点是的中点，且平面平面．（I）求异面直线与所成角的余弦值；（II）若点在线段上移动，是否存在点使平面与平面所成的角为？若存在，指出点的位置，否则说明理由．15\n【答案】（I）；（II）不存在，理由见解析．【解析】试题解析：（I）∵平面平面，底面是菱形，，故，取中点，则，，．以为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，，，，，，．………………2分，，则，，．设异面直线与所成角为，，∴异面直线与所成角的余弦值为．………………6分（II）设存在点，使平面与平面所成的角为，设，∵三点共线，，，，∴，，，15\n设平面的一个法向量为，，令，，．………………8分设平面的一个法向量为，，令，，，又．………………10分若平面与平面所成的角为，则，故，即，此时，点在延长线上，∴在边上不存在点使平面与平面所成的角为．………………12分考点：1、异面直线所成角；2、空间向量的应用．22．（本小题满分12分）已知函数。（Ⅰ）当a=2，求函数f（x）的图象在点（1，f(1)）处的切线方程；（Ⅱ）当a>0时，求函数f（x）的单调区间。【答案】（1）；（2）见解析.（1）当时，，，函数的图象在点处的切线方程为.(2)由题知，函数的定义域为，15\n，令，解得,（I）当时，所以，在区间和上；在区间上，故函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.-函数的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（V）当0＜a＜1时，a-1＜0，函数的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是,综上，（I）时函数的单调递增区间是和，单调递减区间是(II)a=2时，函数f(x)的单调递增区间是（0，+∞）-(III)当0＜a＜2时，函数的单调递增区间是（0，a-1），（1，+∞），单调递减区间是（a-1，1）（IV）当0＜a≤1时，函数的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是点睛：本题以含参数的函数解析式为前提，设置了两个问题，旨在考查导数知识在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。解答本题的第一问时，先求当时，函数的导数，借助导数的几何意义求出切线的斜率，再运用直线的点斜式方程求出切线的方程；求解第二问时，先对含参数的函数解析式进行求导，再运用分类整合的数学思想，对实数进行分类讨论函数的单调性，最后分别求出其单调区间。15
