11月第一周不等式测试时间：120分钟班级：姓名：分数：试题特点：本套试卷重点考查不等式的重要性质、简单不等式的解法、线性规划及其应用、基本不等式及其应用、不等式的综合应用等．在命题时，注重考查基础知识如第1-7，13-15及17-20题等；注重考查知识的交汇，如第8题（解析几何与不等式的交汇），第11，12，16，22等题（函数、导数与恒成立问题）．注重数形结合能力和运算能力的考查，如第1，5，7，15，19，21题等．讲评建议：评讲试卷时应注重对不等式的重要性质的理解、简单不等式的解法、不等式的综合应用等；关注基本运算能力及数形结合能力的培养；加强基本不等式的应用等．试卷中第1，5，9，16，17，19，21各题易错，评讲时应重视．一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．不等式的解集是（）A．B．C．D．或【答案】D【解析】由题意得的两根为，所以的解集为或．故选D．2．当x∈R时，不等式kx2－kx＋1>0恒成立，则k的取值范围是( )A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)C．[0，4)D．(0，4)【答案】C3．已知，则的最小值为（）12\nA．B．-1C．2D．0【答案】D【解析】因为所以选D．4．设，则以下不等式中不恒成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，，故不恒成立，选项为B．5．已知，，均为正实数，且，，，则（）A．B．C．D．【答案】A6．关于的不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】或或解得，即解集为，选C．7．【2022浙江省温州市一模】若实数x，y满足约束条件x+y-2≥0,3x-y-6≤0,x-y≥0,则z=2x+y的取值范围是（）12\nA．3,4B．3,12C．3,9D．4,9【答案】C【解析】画出x+y-2≥03x-y-6≤0x-y≥0表示的可行域，由x+y-2=0x-y=0，得A1,1，由3x-y-6=0x-y=0，得B3,3，平移直线y=-2x+z，当直线经过A,B时分别取得最小值3，最大值9，故z=2x+y的取值范围是3,9，故选C．【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题．求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值．8．【2022广西柳州市一模】已知圆和圆只有一条公切线，若且，则的最小值为（）A．2B．4C．8D．9【答案】D点睛：由题意可得两圆相内切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，可得4a2+b2=1，再利用“1”的代换，使用基本不等式求得+的最小值．9．【2022四川龙泉二中一模】12\n中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a,b,c，三角形的面积S可由公式S=p(p-a)(p-b)(p-c)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a+b=12,c=8，则此三角形面积的最大值为A．85B．45C．415D．815【答案】A【解析】由题意，p=10，S=1010-a10-b10-c=2022-a10-b⩽20⋅10-a+10-b2=85∴此三角形面积的最大值为85．本题选择A选项．10．【2022陕西西工大附中八模】如果，，在不等式①；②；③；④中，所有正确命题的序号是（）A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④【答案】B11．设函数f(x)=ln(x2+1-x)，若a，b满足不等式f(a2-2a)+f(2b-b2)≤0，则当1≤a≤4时，2a-b的最大值为（）A．1B．10C．5D．8【答案】B【解析】因为f(x)+f(-x)=ln(x2+1-x)+ln(x2+1+x)=0，所以函数f(x)为奇函数，又因为x>0时f(x)=ln(x2+1-x)=-ln(x2+1+x)为单调减函数，且f(0)=0所以f(x)为R上减函数，因此f(a2-2a)+f(2b-b2)≤0⇔f(a2-2a)≤-f(2b-b2)⇔f(a2-2a)≤f(-2b+b2)⇔a2-2a≥-2b+b2⇔(a-1)2≥(b-1)2⇔{a≥ba+b-2≥0或{a≤ba+b-2≤0，因为1≤a≤4，所以可行域为一个三角形ABC及其内部，其中A(1,1),B(4,4),C(4,-2)，因此直线z=2a-b过点C时取最大值10，选B．12．设正数，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是（）12\nA．B．C．D．【答案】A．，∴若原不等式恒成立，只需，不等式中只含，可以考虑再进行一次参变分离，，则只需，，，∴解得：，故选A．二、填空题（每题5分，满分20分）13．【2022广西三校联考】已知数列是递减数列，且对任意的正整数，恒成立，则实数的取值范围为______________．【答案】点睛：数列单调性的考查，直接利用递减数列符合恒成立，把问题转化为恒成立问题来解，采用变量分离很容易得解．14．【2022天津市滨海新区八校联考】已知，且，那么取最小值时，__________．【答案】12\n15．【2022河南省洛阳市联考】已知x，y满足条件x≥0,y≥x,3x+4y≤12,则x+2y+3x+1的取值范围是__________．【答案】3,9【解析】作出可行域：16．已知函数，若存在满足，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】∵，∴．设在上的最大值为，最小值为，则．①当时，，在上单调递减，由，得，即，得；②当时，，在上单调递增，12\n∴即，得；③当时，若，则，在上单调递减，若，则，在上单调递增，∴且，即且，易知在上单调递减，故，而，∴无解，综上所述，．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）设实数满足（其中），实数满足．（1）若，且且真，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（2）是的必要不充分条件，即，且，设，则，又，由得，当时，，有，解得；当时，，显然，不合题意．∴实数的取值范围是．考点：逻辑联结词、充分条件、必要条件．12\n【易错点晴】判断充分、必要条件时应注意的问题（1）要弄清先后顺序：“的充分不必要条件是”是指能推出，且不能推出；而“是的充分不必要条件”则是指能推出，且不能推出；（2）要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行，那么可以通过举出恰当的反例来说明．18．解关于的不等式，．（本小题满分12分）【答案】见解析试题解析：原不等式可转化为（*）（1）当时，（*）式为，解得或（2）当时，（*）式为①若，则，，解得，或；②若，则，，解得或③若，则，，，解得，或；综上，当时，不等式解集为当时，不等式解集为当时，不等式解集为当时，不等式解集为19．（本小题满分12分）已知函数．12\n（1）当时，求函数的定义域；（2）若关于的不等式的解集是，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】试题解析：（1）由题意知，则有或或，∴函数的定义域为．（2）不等式，即，∵时，恒有，由题意，∴的取值范围是．考点：函数定义域，绝对值不等式．20．（本小题满分12分）已知为正实数．（1）求证：；（2）利用（1）的结论求函数的最小值．【答案】（1）证明见解析：（2）．【解析】试题分析：（1）∵，利用基本不等式得，再在不等式的两边都乘以，即可证得不等式成立；（2）∵，由（1）所证的不等式易得，即得函数的最小值．12\n试题解析：（1）∵，∴＝．∴，当且仅当时等号成立．（2）∵，∴，由(1)的结论，函数．当且仅当，即时等号成立．∴函数()的最小值为．考点：1、基本不等式；2、函数最值．21．（本小题满分12分）某人需要补充维生素，现有甲、乙两种维生素胶囊，这两种胶囊都含有维生素，，，和最新发现的．甲种胶囊每粒含有维生素，，，，分别是1mg，1mg，4mg，4mg，5mg；乙种胶囊每粒含有维生素，，，，分别是3mg，2mg，1mg，3mg，2mg．此人每天摄入维生素至多19mg，维生素至多13mg，维生素至多24mg，维生素至少12mg．（1）设该人每天服用甲种胶囊粒，乙种胶囊粒，为了能满足此人每天维生素的需要量，请写出，满足的不等关系．（2）在（1）的条件下，他每天服用两种胶囊分别为多少时，可摄入最大量的维生素．并求出最大量．【答案】（1）详见解析；（2）服用5粒甲种胶囊和4粒乙种胶囊时，可摄入最大量的维生素为33mg【解析】（2）目标函数为：12\n作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域．作直线：，把直线向右上方平移，直线经过可行域上的点时，取得最大值．解方程组得点坐标为，此时（mg）．答：每天服用5粒甲种胶囊和4粒乙种胶囊时，可摄入最大量的维生素为33mg．考点：线性规划问题的实际应用22．（本小题满分12分）已知函数，，且对任意的实数均有，．（I）求函数的解析式；（II）若对任意的，恒有，求的取值范围．（Ⅱ）．令，则即．由于，则有．12\n解得．∴的取值范围为．12
