江门市普通高中2022届高考高三数学3月模拟考试试题(三)第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.是虚数单位，复数的实部为A．B．C．D．【答案】C，所以实部是1，选C.2.设全集，集合，，则A． B．C．D．【答案】B，所以，所以，选B.3.下列函数中周期为且为偶函数的是A．B.C.D．【答案】A为偶函数，且周期是，所以选A.4.设是等差数列的前项和，,则A．B．C．D．【答案】C正视图俯视图左视图由得，即，所以，选C.5.已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A．若,,且,则-13-\nB．若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则C．若，则D．若，则【答案】D根据线面垂直的性质可知，选项D正确。6.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是的圆，则这个几何体的表面积是A．B．C．D．【答案】A由三视图可知，该几何体是一挖去半球的球。其中两个半圆的面积为。个球的表面积为，所以这个几何体的表面积是，选A.7.已知抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一点，且在第一象限，，垂足为，，则直线的倾斜角等于A．B.C．D.【答案】B抛物线的焦点坐标为，准线方程为。由题意,则,即，所以,即，不妨取,则设直线的倾斜角等于，则，所以，选B.8.若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为A．B．C．D．【答案】B由得，，即。由，得，即，所以，所以，所以向量与的夹角的余弦值为-13-\n，所以，选B.9.已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为A．B．C．D．【答案】C由得，作出函数的图象，，当时，，所以要使函数有三个不同的零点，则，即，选C.10.已知的最小值为，则二项式展开式中项的系数为A．B．C．D．【答案】A因为函数的最小值为，即。展开式的通项公式为，由，得，所以，即项的系数为15，选A.11.已知函数对定义域内的任意都有=，且当时其导函数满足若则A．B．C．D．【答案】C-13-\n由=，可知函数关于对称。由得，所以当时，，函数递增，所以当时，函数递减。当，，，即。所以，所以，即，所以，即，选C.12.定义区间，，，的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如,的长度.用表示不超过的最大整数，记，其中.设，，当时,不等式解集区间的长度为，则的值为A．B．C．D．【答案】B，由，得，即。当，，不等式的解为，不合题意。当，，不等式为，无解，不合题意。当时，，所以不等式等价为，此时恒成立，所以此时不等式的解为，因为不等式解集区间的长度为，所以，即，选B.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13.某程序框图如右图所示，若,则该程序运行后，输出的值为;-13-\n开始输出结束是否【答案】第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，。此时不满足条件，输出。14.若，则的值是;【答案】由，所以，解得。15.已知满足约束条件,则目标函数的最大值是【答案】由得，。作出不等式对应的区域，，平移直线，由图象可知，当直线与圆在第一象限相切时，直线的截距最大，此时最大。直线与圆的距离，即，所以目标函数的最大值是。16．给出以下命题：-13-\n①双曲线的渐近线方程为；②命题“，”是真命题；③已知线性回归方程为，当变量增加个单位，其预报值平均增加个单位；④设随机变量服从正态分布，若，则；⑤已知，，，，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为，（）则正确命题的序号为（写出所有正确命题的序号）．【答案】①③⑤①正确。②当时，，所以②错误。③正确。④因为，所以，所以④错误。⑤正确。三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知函数在区间上单调递增,在区间上单调递减;如图,四边形中,,,为的内角的对边，且满足.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，设，,，求四边形面积的最大值.18．（本小题满分12分）现有长分别为、、的钢管各根（每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的编号），从中随机抽取根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的,），再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根．-13-\n（Ⅰ）当时,记事件{抽取的根钢管中恰有根长度相等}，求；（Ⅱ）当时,若用表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计）,①求的分布列；②令，，求实数的取值范围．19．（本小题满分12分）如图，几何体中，四边形为菱形，，，面∥面,、、都垂直于面,且，为的中点，为的中点.（Ⅰ）求证：为等腰直角三角形；（Ⅱ）求二面角的余弦值.20．（本小题满分12分）已知,数列满足,数列满足；又知数列中，，且对任意正整数，.（Ⅰ）求数列和数列的通项公式；（Ⅱ）将数列中的第项，第项，第项，……，第项，……删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前项和.21．（本小题满分13分）已知向量，，（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴垂直,．（Ⅰ）求的值及的单调区间；（Ⅱ）已知函数(为正实数),若对于任意，总存在-13-\n，使得，求实数的取值范围．22．（本小题满分13分）已知椭圆:的焦距为,离心率为,其右焦点为,过点作直线交椭圆于另一点.(Ⅰ)若,求外接圆的方程;(Ⅱ)若过点的直线与椭圆相交于两点、，设为上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．CBACDABBCACB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13.14.15.16．①③⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知：，解得：，……………………………2分………………………………………………………4分-13-\n…………………………………………………6分（Ⅱ）因为，所以，所以为等边三角形……………………………8分……………………………………………9分，………………………………………10分,，当且仅当即时取最大值,的最大值为………………12分18．（本小题满分12分）解：(Ⅰ)事件为随机事件，………………………………………4分（Ⅱ）①可能的取值为23456∴的分布列为：……………………………………………………9分②………………………………10分，，…………………………………………12分-13-\n19．（本小题满分12分）解：（I）连接，交于，因为四边形为菱形，，所以因为、都垂直于面,，又面∥面,所以四边形为平行四边形,则……………………………2分因为、、都垂直于面,则…4分所以所以为等腰直角三角形………………………………………………5分（II）取的中点，因为分别为的中点，所以∥以分别为轴建立坐标系，则所以………………7分设面的法向量为，则，即且令，则………………………………………………………………9分-13-\n设面的法向量为，则即且令，则……………………………………………………11分则,则二面角的余弦值为…12分20．（本小题满分12分）解：,…………………3分又由题知：令，则,………………5分若，则，，所以恒成立若,当,不成立,所以……………………………………6分（Ⅱ）由题知将数列中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是，公比均是…………9分…………………………………………12分21．（本小题满分13分）解：（I）由已知可得：=，由已知，，∴…………………………………………………………2分所以…………3分由，由的增区间为，减区间为………………………………………5分（II）对于任意，总存在，使得，……………………………………………………………………6分-13-\n由（I）知，当时，取得最大值.………………………………8分对于，其对称轴为当时，，，从而………………10分当时，，，从而……12分综上可知：………………………………………………………………13分22．（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由题意知：，，又，解得：椭圆的方程为：…………………………2分可得：，,设，则，，，，即由，或即，或…………………………………………………………4分①当的坐标为时，，外接圆是以为圆心，为半径的圆，即……………………………………………………………5分②当的坐标为时，，，所以为直角三角形，其外接圆是以线段为直径的圆，圆心坐标为，半径为，外接圆的方程为综上可知：外接圆方程是，或……7分(Ⅱ)由题意可知直线的斜率存在.设，，，-13-\n由得：由得：（）………………………9分，即，结合（）得：………………………………………………11分，从而，点在椭圆上，，整理得：即，，或………………………………13分-13-
