10.9离散型随机变量的期望与方差一、明确复习目标了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差.二．建构知识网络1.平均数及计算方法(1)对于n个数据x1，x2，…，xn，=（x1+x2+…+xn）叫做这n个数据的平均数，(2)当数据x1，x2，…，xn的数值较大时，可将各数据同时减去一个适当的常数a，得到x1′=x1－a，x2′=x2－a，…，xn′=xn－a，那么，=+a.(3)如果在n个数据中，x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（f1+f2+…+fk=n），那么=,叫加权平均数.2.方差及计算方法(1)对于一组数据x1，x2，…，xn，s2=［（x1－）2+（x2－）2+…+（xn－）2］叫做这组数据的方差，而s叫做标准差.(2)方差公式:s2=［（x12+x22+…+xn2）－n2］(3)当数据x1，x2，…，xn中各值较大时，可将各数据减去一个适当的常数a，得到x1′=x1－a，x2′=x2－a，…，xn′=xn－a那么s2=［（x1′2+x2′2+…+xn′2）－n］17/17\n3.随机变量的数学期望:一般地，假设离散型随机变量ξ的概率分布为ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…那么称Eξ=x1p1+x2p2+……+xnpn…为ξ的数学期望，简称期望.也叫平均数,均值.(1)数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)期望的一个性质:E(aξ+b)=aEξ+b（3）求期望的方法步骤：①确定随机变量的所有取值;②计算第个取值的概率并列表;③由期望公式计算期望值。4.方差:Dξ=(x1-Eξ)2p1+(x2-Eξ)2p2+…+(xn-Eξ)2pn+…(1)标准差:Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作(2)方差的性质：D(aξ+b)=a2Dξ;Dξ=E(ξ2)-(Eξ)2(3)方差的求法步骤：①求分布列;②求期望;③由公式计算方差。随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。5.会用求和符号Σ:如Eξ=xipi，Dξ=（xi－Eξ）2pi，6.二项分布的期望和方差：假设ξ～B(n，p)，那么Eξ=np,np(1-p)7.几何分布的期望和方差：假设ξ服从几何分布g(k，p)=，那么17/17\n，证明:令，三、双基题目练练手1.（2022江苏）在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）A.9.4,0.484B．9.4,0.016C．9.5,0.04D．9.5,0.0162.设导弹发射的事故率为0.01，假设发射10次，其出事故的次数为ξ，那么以下结论正确的选项是()A.Eξ=0.001B.Dξ=0.099C.P（ξ=k）=0.01k·0.9910－kD.P（ξ=k）=C·0.99k·0.0110－k3.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为17/17\nA.2.44B.3.376C.2.376D.2.44.(2022福建)一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2.将这个小正方体抛掷2次，那么向上的数之积的数学期望是＿＿＿。5.(2022四川)设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，4.P(ξ＝k)＝ak+b(k=1，2，3，4),又ξ的数学期望Eξ＝3，那么ａ＋ｂ＝__________6.有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量ξ1、ξ2，已知Eξ1=Eξ2，Dξ1＞Dξ2，那么自动包装机________的质量较好.7.假设随机变量A在一次试验中发生的概率为p（0<p<1），用随机变量ξ表示A在1次试验中发生的次数，那么的最大值为.解：随机变量ξ的所有可能取值为0，1，并且有P（ξ=1）=p，P（ξ=0）=1－p，从而Eξ=0×（1－p）+1×p=p，Dξ=（0－p）2×（1－p）+（1－p）2×p=p－p2.==2－（2p+）≤2－2当且仅当2p=，即p=时，取得最大值2－2.◆答案:1-3.DBC;17/17\n3.P（ξ=0）=0.43，P（ξ=1）=0.6×0.42，P（ξ=2）=0.6×0.4，P（ξ=3）=0.6，Eξ=2.376;4.;5.得,∴.6.包装的重量的平均水平一样,甲机包装重量的差异大，不稳定,答案：乙四、经典例题做一做【例1】(1)一枚骰子的六个面上标有1、2、3、4、5、6，投掷一次，向上面的点数为ξ,求Eξ、E(2ξ+3)和Dξ。(2)假设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=(k=1，2，3，…，n)，求Eξ和Dξ。(3)一次英语测验由50道选择题构成，每道有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，总分值150分，某学生选对每一道题的概率为0.7，求该生在这次测验中的成绩的期望与方差。解：(1)Eξ=x1P1+x2P2+x3P3+…+x6P6=1×+2×+3×+…+6×=3.5E(2ξ+3)=2Eξ+3=10Dξ=(x1-Eξ)2P1+(x2-Eξ)2P2+…+(x6-Eξ)2P6=[(1-3.5)2+(2-3.5)2+…(6-3.5)2]=17.5×=2.92(2)Eξ=(1+2+…+n)=17/17\nDξ=Eξ2-(Eξ)2=(n2-1)(3)设ξ为该生选对试题个数，η为成绩。那么ξ～B(50，0.7)，η=3ξ∴Eξ=50×0.7=35；Dξ=50×0.7×0.3=10.5故Eη=E(3ξ)=3Eξ=105Dη=D(3ξ)=9Dξ=94.5【例2】(2022年安徽)在添加剂的搭配使用中，为了找到最正确的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂，现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计学原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进展搭配试验。用ξ表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和，（Ⅰ）写出ξ的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程）.（Ⅱ）求ξ的数学期望Eξ.（要求写出计算过程或说明道理）.解：（I）ξ的分布列为ξ123456789P（II）由ξ的定义得.【例3】(2022山东)袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等。用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：17/17\n（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）随机变量ξ的概率分布和数学期望；（3）计分介于20分到40分之间的概率。解：（I）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，那么解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，那么事件A和事件B是互斥事件，因为,所以.（II）由题意ξ有可能的取值为：2，3，4，5.所以随机变量的概率分布为2345因此的数学期望为17/17\n（Ⅲ）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为，那么【例4】（2022全国Ⅱ）某批产品成箱包装，每箱5件。一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进展检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。（Ⅰ）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；（Ⅱ）假设抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购置这批产品，求这批产品给用户拒绝购置的概率。解：（I）ξ可能的取值为0，1，2，3.，，，.ξ的分布列为ξ0123数学期望为Eξ=1.2.17/17\n（II）所求的概率为【研讨.欣赏】（2022辽宁）现有甲、乙两个工程，对甲工程每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、、;已知乙工程的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是,设乙工程产品价格在一年内进展2次独立的调整,记乙工程产品价格在一年内的下降次数为ξ,对乙工程每投资十万元,ξ取0、1、2时,一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量ξ1、ξ2分别表示对甲、乙两工程各投资十万元一年后的利润.（I）求ξ1、ξ2的概率分布和数学期望Eξ1、Eξ2;（II）当Eξ1<Eξ2时,求的取值范围.解（I）法一：ξ1的概率分布为ξ11.21.181.17P由题设的ξ－B(2,p)，即ξ的概率分布为ξ012P故ξ2的概率分布为ξ21.31.250.2P17/17\n所以ξ2的数学期望为解法二：ξ1的概率分布为ξ11.21.181.17P设表示事件“第i次调整，价格下降”（i=1,2），那么故ξ2的概率分布为ξ21.31.250.2P(1-p)22p(1-p)P2所以ξ2的数学17/17\n（II）解：由，得，整理得，解得。因为，所以，当时，得取值范围是。五．提炼总结以为师1.离散型随机变量的期望和方差的意义.2.求期望与方差.首先应先求出分布列，再代公式求期望与方差.3.离散型随机变量的期望和方差的计算公式与运算性质：4.二项分布的期望与方差：假设ξ～B（n，p），那么Eξ=np，Dξ=np（1－p）.同步练习10.9离散型随机变量的期望与方差【选择题】1.下面说法中正确的选项是（ ）A.离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的概率的平均值。B.离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的平均水平。C.离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的平均水平。D.离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的概率的平均值。2.是x1，x2，…，x100的平均数，a是x1，x2，…，x40的平均数，b是x41，x42，…，x100的平均数，那么以下各式正确的选项是()17/17\nA.=B.=C.=a+bD=3.设ξ是随机变量,a、b是非零常数,那么以下等式中正确的选项是()A.D(aξ+b)=a2Dξ+bB.E(aξ)=a2EξC.D(aξ)=a2DξD.E(aξ+b)=aξ【填空题】4.设一次试验成功的概率为p，进展100次独立重复试验，当p=________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________.5.一次单元测试由50个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中恰有1个是正确答案.每题选择正确得2分，不选或错选得0分，总分值是100分.学生甲选对任一题的概率为0.8，求他在这次测试中成绩的期望和标准差.6.袋中有4个红球，3个黑球，今从袋中随机取出4个球.设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，那么得分ξ的取值为_____________,ξ数学期望等于__________.◆练习简答：1-3.CAC;4.Dξ=npq≤n（）2=，当p=q=时等号成立，Dξ=25，σξ=5.答案：,5.5.设甲答对题数为ξ，成绩为η，那么ξ～B（50，0.8），η=2ξ，成绩的期望为Eη=E（2ξ）=2Eξ=2×50×0.8=80（分）；成绩的标准差为ση====2=4≈5.7（分）17/17\n6.得分情况：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分.故P（ξ=5）==，P（ξ=6）==，P（ξ=7）==，P（ξ=8）==，Eξ=5×+6×+7×+8×==.【解答题】7.甲、乙乙两名射手在一次射击中，得分为两个独立的随机变量ξ和η，其分布列为ξ123Pa0.10.6η123P0.3b0.3求（1）a,b的值；（2）计算ξ、η的期望与方差，并据此分析甲、乙的技术状况。解：(1)由a+0.1+0.6=1得a=0.7.同理b=0.1(2)Eξ=2.3,Eη=2.0,Eξ>EηDξ=0.81,Dη=0.6.Dξ>Dη说明射击中甲的平均得分高于乙，但稳定性不如乙。8．17/17\n(2022江西)某商场举行抽奖促销活动,抽奖规那么是:从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客,规定:甲摸一次,乙摸两次.令ξ表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额,求(1)ξ的分布列;(2)ξ的数学期望..解:(1)ζ的所有可能的取值为0,10,20,50,60.(元)9．(2022全国Ⅰ)A、B是治疗同一种疾病的两种药，用假设干试验组进展比照试验每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效假设在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为.（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望.解：（Ⅰ）设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i＝0，1，2，17/17\nBi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i＝0，1，2，依题意有所求的概率为(Ⅱ)ξ的可能值为0,1,2,3且ξ~B(3,)P(ξ=0)=()3=,P(ξ=1)=C31××()2=,P(ξ=2)=C32×()2×=,P(ξ=3)=()3=ξ的分布列为:ξ0123P数学期望:Eξ=3×=10.（2022湖北）某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的时机，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否那么就一直考到第417/17\n次为止。如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率.解：ξ的取值分别为1，2，3，4.ξ=1，说明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P（ξ=1）=0.6.ξ=2，说明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P(ξ=2)=(1-0.6)×0.7=0.28ξ=3，说明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P(ξ=3)=(1-0.6)×(1-0.7)×0.8=0.096ξ=4，说明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(ξ=4)=(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)=0.024∴李明实际参加考试次数ξ的分布列为ξ1234P0.60.280.0960.024∴ξ的期望Eξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544.李明在一年内领到驾照的概率为1－(1－0.6)(1－0.7)(1-0.8)(1－0.9)=0.9976.【探索题】(2022全国Ⅲ)甲、乙两队进展一场排球比赛.根据以往经历，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛完毕.设各局比赛相互间没有影响.令ξ为本场比赛的局数.求ξ的概率分布和数学期望.（准确到0.0001）.17/17\n解:比赛1局甲队胜的概率是0.6,乙队胜的概率是0.4,比赛3局完毕有两种情况,甲胜3局或乙胜3局.P(ξ=3)=0.63+0.43=0.28比赛4局完毕有两种情况,前3局中甲队胜2局,乙队胜1局,第四局甲队胜,或前3局乙队胜2局,第四局乙队胜.P(ξ=4)=C320.620.4·0.6+C320.42·0.6·0.4=0.3744比赛5局完毕有两种情况,前4局甲队胜2局,乙队胜两局,第五局甲队胜,或乙队胜.P(ξ=5)=0.3456,分布列为ξ345P0.280.37440.3456期望:Eξ=4.0656.17/17
