5.3平面向量的数量积一、明确复习目标1.掌握平面向量的数量积及其几何意义;掌握向量垂直的条件;2.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题.二．建构知识网络1两个向量的数量积：(1)设两个非零向量与,称∠AOB=为向量与的夹角，(00≤θ≤1800)，当非零向量与同方向时，θ=00，当与反方向时θ=1800，与其它非零向量不谈夹角问题（2）数量积的定义：·=︱︱·︱︱cos,叫做与的数量积;规定,其中︱︱cos∈R，叫向量在方向上的投影.2.数量积的几何意义：·等于的长度与在方向上的投影的乘积.3．平面向量数量积的运算律：①交换律成立：②对实数的结合律成立：③分配律成立：④乘法公式成立：；特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=4．两个向量的数量积的坐标运算：已知，那么·=5．向量数量积的性质：（1）⊥·＝O（2）当与同向时，当与反向时，一般地特别地：——向量运算与模的转化。11/11\n（3）求夹角：cos==假设那么夹角为锐角或00;假设那么夹角为钝角或1800.（4）。三、双基题目练练手1．（2022北京）假设与都是非零向量，那么“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件()（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件2．(2022江西)．已知向量=(1,2),=(-2,-4)，||=假设那么与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°3．(2022陕西)已知非零向量与满足(+)·=0且·=,那么△ABC为()A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等边三角形11/11\n4．(2022浙江)．已知向量≠，||＝1，对任意t∈R，恒有|－t|≥|－|，那么()A.⊥B.⊥(－)C.⊥(－)D.(＋)⊥(－)5．与向量的夹角相等，且模为1的向量=______6.已知且关于的方程有实根,那么与的夹角的取值范围是________7.(2022天津)设向量与的夹角为，且，，那么__________．8.(2022天津)设函数，点表示坐标原点，点，假设向量，是与的夹角，（其中），设，那么=．简答:1-4.CCDC;4.利用图形分析,5.或;6.;7.;8.1.四、经典例题做一做【例1】已知向量的夹角为钝角,求m的取值范围.解:夹角为钝角那么解得11/11\n又当时,,∴m的取值范围是【例2】已知两单位向量与的夹角为，假设，试求与的夹角。解：由题意，且与的夹角为所以，，，同理可得而，设为与的夹角，那么【例3】已知向量,,且满足关系,(k为正实数).(1)求证:;(2)求将表示为k的函数f(k).(3)求函数f(k)的最小值及取最小值时的夹角θ.解(1)证明:(2)11/11\n(3)当且仅当即k=1时,故f(x)的最小值是此时【例4】如图，四边形MNPQ是⊙C的内接梯形，C是圆心，C在MN上，向量与的夹角为120°，·=2.（1）求⊙C的方程；（2）求以M、N为焦点且过点P、Q的椭圆的方程.剖析：需先建立直角坐标系，为了使所求方程简单，需以C为原点，MN所在直线为x轴，求⊙C的方程时，只要求半径即可，求椭圆的方程时，只需求a、b即可.解：（1）以MN所在直线为x轴，C为原点，建立直角坐标系xOy.∵与的夹角为120°，故∠QCM=60°.于是△QCM为正三角形，∠CQM=60°.又·=2，即||||cos∠CQM=2，于是r=||=2.故⊙C的方程为x2+y2=4.（2）依题意2c=4，2a=|QN|+|QM|，而|QN|==2，|QM|=2，于是a=+1，b2=a2－c2=2.∴所求椭圆的方程为+=1.11/11\n【研讨.欣赏】OxyABCDE如图，△AOE和△BOE都是边长为1的等边三角形，延长OB到C使|BC|＝t(t>0)，连AC交BE于D点．⑴用t表示向量和的坐标；⑵求向量和的夹角的大小．解:⑴＝((t+1)，－(t+1))，∵＝t，∴＝t，＝，又＝(，)，＝－＝(t，－(t+2))；∴＝(，－)，∴＝(，－)⑵∵＝(，－)，∴·＝·＋·＝又∵||·||＝·＝∴cos<，>＝＝，∴向量与的夹角为60°五．提炼总结以为师1.平面向量的数量积、几何意义及坐标表示;2.用数量积处理向量垂直问题，向量的长度、角度问题.11/11\n3.向量与的夹角：（1）当a与必有公共起点，否那么要平移；（2）0°≤〈，〉≤180°；（3）cos〈，〉==同步练习5.3平面向量的数量积【选择题】1.(2022湖北1)已知向量a=（，1），b是不平行于x轴的单位向量，且ab=,那么b=（）A.（）B.（）C.（）D.（1，0）2.(2022四川)已知正六边形，以下向量的数量积中最大的是()（A）（B）（C）（D）3．（2022辽宁）已知点A（－2，0），B（3，0），动点P（x，y）满足·=x2，那么点P的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线4．已知的非等腰三角形，且，那么关于x的二次方程的根的个数表达正确的选项是（）A．无实根B．有两相等实根C．有两不等实根D．无法确定【填空题】5.(2022春上海)假设向量的夹角为，，那么.11/11\n6.（2022浙江）设向量满足,假设,那么的值是 7.(2022重庆4)．已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D为线段BC的中点，那么向量与的夹角为_______8.(2022江苏)在中，O为中线AM上一个动点，假设AM=2，那么的最小值是_________。练习简答：1-4.BADC;5.2;6.得.又,结合图形知,;7.;8.-2;【解答题】9．已知，，，按以下条件求实数的值。（1）；（2）解：（1）；（2）；（3）。10.如图,求与向量=，-1）和=（1，）夹角相等，且模为的向量的坐标。法一：设=（x，y），那么·=x-y，·=x+y11/11\n∵<，>=<，>∴∴即①又||=∴x2+y2=2②由①②得或（舍）∴=法二：从分析形的特征着手∵||=||=2,·=0∴△AOB为等腰直角三角形，如图∵||=，∠AOC=∠BOC∴C为AB中点∴C（）11.(2022湖北)设函数，其中向量，，。（Ⅰ）求函数f(x)的最大值和最小正周期；（Ⅱ）将函数y=f(x)的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d。解：（I）==11/11\n=故f(x)的最大值为，最小正周期是（II）由得，即于是因为k为正数，要使最小，那么只要k=1,此时即为所求.【探索题】已知长方形ABCD，AB=3，BC=2，E为BC中点，P为AB上一点（1）利用向量知识判定点P在什么位置时，∠PED=450；（2）假设∠PED=450，求证：P、D、C、E四点共圆。分析：利用坐标系可以确定点P位置如图，建立平面直角坐标系yBPDCEAx那么C（2，0），D（2，3），E（1，0）设P（0，y）∴=（1，3），=（-1，y）∴·=3y-1代入cos450=解之得（舍），或y=2∴点P为靠近点A的AB三等分处（3）当∠PED=450时，由（1）知P（0，2）∴=（2，1），=（-1，2）11/11\n∴·=0∴∠DPE=900又∠DCE=900∴D、P、E、C四点共圆说明：利用向量处理几何问题一步要骤为：①建立平面直角坐标系；②设点的坐标；③求出有关向量的坐标；④利用向量的运算计算结果；⑤得到结论。11/11
