第三章第八节正弦定理和余弦定理应用举例题组一距离问题1.一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，那么这只船航行的速度为( )A.海里/时B．34海里/时C.海里/时D．34海里/时解析：如图．由题意知∠MPN=75°+45°=120°，∠PNM=45°.在△PMN中，由正弦定理，得，∴MN=68×=34.又由M到N所用时间为14-10=4小时，∴船的航行速度v=(海里/时)．答案：A2．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.解析：如图，依题意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△AMB中，由正弦定理得＝，解得BM＝30km.答案：303．如以下图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，6/6\n在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．解：在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，所以AC＝a.①在△BCD中，由正弦定理可得BC＝＝a.②在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝30°，所以利用余弦定理可以求得A、B两点之间的距离为AB＝＝a.题组二高度问题4.据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力到达12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，那么折断点与树干底部的距离是( )A.米B．10米C.米D．20米解析：如图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，那么∠ABO=45°，∠AOB=75°，∴∠OAB=60°.由正弦定理知，，∴AO=(米)．答案：A5．在一个塔底的水平面上某点测得该塔顶的仰角为θ，由此点向塔底沿直线行走了30m，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔底前进10m，又测得塔顶的仰角为4θ，那么塔的高度为________．解析：如图，依题意有PB=BA=30，PC=BC=.在三角形BPC中，由余弦定理可得cos2θ=6/6\n=，所以2θ=30°，4θ=60°，在三角形PCD中，可得PD=PC·sin4θ=10·=15(m)．答案：15m6．某人在山顶观察地面上相距2500m的A、B两个目标，测得目标A在南偏西57°，俯角为30°，同时测得B在南偏东78°，俯角是45°，求山高(设A、B与山底在同一平面上，计算结果准确到0.1m)．解：画出示意图(如以下图)设山高PQ=h，那么△APQ、△BPQ均为直角三角形，在图(1)中，∠PAQ=30°，∠PBQ=45°.∴AQ=，BQ==h.在图(2)中，∠AQB=57°+78°=135°，AB=2500，所以由余弦定理得：AB2=AQ2+BQ2-2AQ·BQcos∠AQB，即25002=(h)2+h2-2h·h·cos135°=(4+)h2，∴h=≈984.4(m)．答：山高约984.4m.题组三角度问题7.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，如果c＝a，B＝30°，那么角C等于( )A．120°B．105°C．90°D．75°解析：∵c＝a，∴sinC＝sinA＝sin(180°－30°－C)＝sin(30°＋C)＝(sinC＋cosC)，即sinC＝－cosC.∴tanC＝－.又C∈(0,180°)，6/6\n∴C＝120°.答案：A8．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，那么这个新的三角形的形状为( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定解析：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2＝a2＋b2，a＋b>c新的三角形的三边长为a＋x、b＋x、c＋x，知c＋x为最大边，其对应角最大．而(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝x2＋2(a＋b－c)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，那么为锐角，那么它为锐角三角形．答案：A题组四正、余弦定理的综合应用9.有一山坡，坡角为30°，假设某人在斜坡的平面上沿着一条与山坡底线成30°角的小路前进一段路后，升高了100米，那么此人行走的路程为( )A．300mB．400mC．200mD．200m解析：如图，AD为山坡底线，AB为行走路线，BC垂直水平面．那么BC=100，∠BDC=30°，∠BAD=30°，∴BD=200，AB=2BD=400米．答案：B10．线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，那么运动开场________h后，两车的距离最小．解析：如以下图：设th后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，那么AD=80t，BE=50t.因为AB=200，所以BD=200-80t，问题就是求DE最小时t的值．由余弦定理：DE2=BD2+BE2-2BD·BEcos60°=(200-80t)2+2500t2-(200-80t)·50t=12900t2-42000t+40000.当t=时DE最小．答案：11．如图，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，6/6\n在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP＝θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．解：因为CP∥OB，所以∠CPO＝∠POB＝60°－θ，∴∠OCP＝120°.在△POC中，由正弦定理得＝，∴＝，所以CP＝sinθ.又＝，∴OC＝sin(60°－θ)．因此△POC的面积为S(θ)＝CP·OCsin120°＝·sinθ·sin(60°－θ)×＝sinθsin(60°－θ)＝sinθ(cosθ－sinθ)＝[cos(2θ－60°)－]，θ∈(0°，60°)．所以当θ＝30°时，S(θ)取得最大值为.12．(2022·宁波模拟)某建筑的金属支架如以下图，根据要求AB至少长2.8m，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5m，∠BCD＝60°，已知建造支架的材料每米的价格一定，问怎样设计AB，CD的长，可使建造这个支架的本钱最低？解：设BC＝am(a≥1.4)，CD＝bm，连接BD.那么在△CDB中，(b－)2＝b2＋a2－2abcos60°.∴b＝.∴b＋2a＝＋2a.设t＝a－1，t≥－1＝0.4，那么b＋2a＝＋2(t＋1)＝3t＋＋4≥7，等号成立时t＝0.5＞0.4，a＝1.5，b＝4.6/6\n答：当AB＝3m，CD＝4m时，建造这个支架的本钱最低．6/6
