[80分]12＋4标准练41．已知全集U＝{1,2,3,4}，若A＝{1,3}，B＝{3}，则(∁UA)∩(∁UB)等于( )A．{1,2}B．{1,4}C．{2,3}D．{2,4}答案 D解析 根据题意得∁UA＝{2,4}，∁UB＝{1,2,4}，故(∁UA)∩(∁UB)＝{2,4}．2．设i是虚数单位，若复数z＝，则z的共轭复数为( )A.＋iB．1＋iC．1－iD.－i答案 D解析 复数z＝＝＝，根据共轭复数的概念得，z的共轭复数为－i.3．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示．若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为( )9\nA．30B．25C．22D．20答案 D解析 50×(1.00＋0.75＋0.25)×0.2＝20.4．已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，f(－1))处切线的斜率为8，则f(－1)等于( )A．7B．－4C．－7D．4答案 B解析 ∵y′＝4x3＋2ax，∴－4－2a＝8，∴a＝－6，∴f(－1)＝1＋a＋1＝－4.5．已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则向量a在b方向上的投影为( )A．1B.C.D.答案 D解析 设a与b的夹角为θ，∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝a2－a·b＝0，即a2－|a|·|b|cosθ＝0，∴cosθ＝，∴向量a在b方向上的投影为|a|·cosθ＝.6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )9\nA.B.C.D．8答案 B解析 由三视图可知，该几何体是底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示．∴该几何体的体积V＝×8×2＝.7．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的一个对称中心为，且f＝，则ω的最小值为( )A.B．1C.D．2答案 A解析 方法一 当x＝时，ωx＋φ＝ω＋φ＝k1π，k1∈Z，当x＝时，ωx＋φ＝ω＋φ＝2k2π＋或2k2π＋，k2∈Z，两式相减，得ω＝(k1－2k2)π－或(k1－2k2)π－，k1，k2∈Z，即ω＝4(k1－2k2)－或4(k1－2k2)－，k1，k2∈Z，又因为ω>0，所以ω的最小值为4－＝.方法二 直接令ω＋φ＝π，ω＋φ＝，得ω＝，解得ω＝.8．《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，可用如图所示的程序框图解决此类问题．现执行该程序框图，输入的d的值为33，则输出的i的值为( )9\nA．4B．5C．6D．7答案 C解析 i＝0，S＝0，x＝1，y＝1，开始执行程序框图，i＝1，S＝1＋1，x＝2，y＝；i＝2，S＝1＋2＋1＋，x＝4，y＝；…；i＝5，S＝(1＋2＋4＋8＋16)＋<33，x＝32，y＝，再执行一次，S>d退出循环，输出i＝6，故选C.9．在△ABC中，tan＝sinC，若AB＝2，则△ABC的周长的取值范围是( )A．(2,2]B．(2，4]C．(4,2＋2]D．(2＋2，6]答案 C解析 由题意可得tan＝tan＝＝2sincos，则sin2＝，即＝，∴cosC＝0，C＝.据此可得△ABC是以点C为直角顶点的直角三角形，9\n则4＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2×2，据此有a＋b≤2，∴△ABC的周长a＋b＋c≤2＋2.三角形满足两边之和大于第三边，则a＋b>2，∴a＋b＋c>4.综上可得，△ABC周长的取值范围是(4,2＋2]．10．一个三棱锥A－BCD内接于球O，且AD＝BC＝3，AC＝BD＝4，AB＝CD＝，则球心O到平面ABC的距离是( )A.B.C.D.答案 D解析 由题意可得三棱锥A－BCD的三对对棱分别相等，所以可将三棱锥补成一个长方体AEDF－GCHB，如图所示，该长方体的外接球就是三棱锥A－BCD的外接球O，长方体AEDF－GCHB共顶点的三条面对角线的长分别为3,4，，设球O的半径为R，长方体的长、宽、高分别为x，y，z，由题意可知，解得则(2R)2＝x2＋y2＋z2＝6＋3＋10＝19，即4R2＝19.在△ABC中，由余弦定理得cos∠ACB＝＝，则sin∠ACB＝，再由正弦定理得＝2r(r为△ABC外接圆的半径)，则r＝，因此球心O到平面ABC的距离d＝＝.11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝13，Sm＝0，Sm＋1＝－15.其中m∈N*且m9\n≥2，则数列的前n项和的最大值为( )A.B.C.D.答案 D解析 ∵Sm－1＝13，Sm＝0，Sm＋1＝－15，∴am＝Sm－Sm－1＝0－13＝－13，am＋1＝Sm＋1－Sm＝－15－0＝－15，又∵数列{an}为等差数列，∴公差d＝am＋1－am＝－15－(－13)＝－2，∴解得a1＝13，∴an＝a1＋(n－1)d＝13－2(n－1)＝15－2n，当an≥0时，n≤7.5，当an＋1≤0时，n≥6.5，∴数列的前7项为正数，∴＝＝∴数列的前n项和的最大值为＝＝.故选D.12．已知函数f(x)＝若存在实数x1，x2，x3，x4满足x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则的取值范围是( )A．(0,12)B．(0,16)C．(9,21)D．(15,25)答案 A解析 函数的图象如图所示，9\n∵f(x1)＝f(x2)，∴－log2x1＝log2x2，∴log2x1x2＝0，∴x1x2＝1，∵f(x3)＝f(x4)，由函数对称性可知，x3＋x4＝12,2<x3<x4<10，∴＝x3x4－2(x3＋x4)＋4＝x3x4－20＝x3(12－x3)－20＝－(x3－6)2＋16，∵2<x3<4，∴的取值范围是(0,12)．13．已知二面角α－l－β为60°，动点P，Q分别在平面α，β内，P到β的距离为，Q到α的距离为2，则P，Q两点之间距离的最小值为________．答案 2解析 如图，分别作QA⊥α于点A，AC⊥l于点C，PB⊥β于点B，PD⊥l于点D，连接CQ，BD，则∠ACQ＝∠PDB＝60°，AQ＝2，BP＝，∴AC＝PD＝2.又∵PQ＝＝≥2，当且仅当AP＝0，即点A与点P重合时取最小值．14.已知正方形的四个顶点A(1,1)，B(－1，1)，C(－1，－1)，D(1，－1)分别在曲线y＝x2和y＝－1上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．9\n答案 解析 y＝x2与AB相交的阴影部分面积为2－ʃx2dx＝2－＝2－＝，y＝－1化简得(y＋1)2＋x2＝1，则y＝－1与CD相交的阴影部分的面积为半圆的面积，即＝，故质点落在图中阴影区域的概率是＝.15．已知实数x，y满足约束条件则u＝的取值范围为________．答案 解析 作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，令t＝，它表示可行域内的点(x，y)与原点的斜率，由图联立直线方程可得A(1,2)，B(3,1)，t∈.u＝＝＝＋＋2＝t＋＋2.易知u＝t＋＋2在上单调递减，在[1,2]上单调递增．当t＝时，u＝；当t＝1时，u＝4；9\n当t＝2时，u＝，所以u∈.16．已知在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，|AB|＝2|CD|＝4，∠ABC＝60°，双曲线以A，B为焦点，且与线段AD，BC(包含端点D，C)分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________．答案 (1，＋1]解析 以线段AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，则在双曲线中c＝2，C(1，)．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，只需C点在双曲线右支图象的上方(包括在图象上)即可，即－≤1，两边同乘a2b2，得b2－3a2≤a2b2，由于b2＝c2－a2＝4－a2，所以上式化为4－a2－3a2≤a2，解得－1≤a<2，所以<≤，故1<≤＋1.9
