[80分]12＋4标准练11．已知集合A＝{x∈Z|x2－3x－4≤0}，B＝{x|0<lnx<2}，则A∩B的真子集的个数为( )A．3B．4C．7D．8答案 C解析 A＝{x∈Z|x2－3x－4≤0}＝{x∈Z|－1≤x≤4}＝{－1,0,1,2,3,4}，B＝{x|0<lnx<2}＝{x|1<x<e2}，所以A∩B＝{2,3,4}，所以A∩B的真子集有23－1＝7(个)．2．设复数z＝1－i(i是虚数单位)，则|z·＋|的值为( )A．3B．2C．2D．4答案 A解析 z·＋＝＋1＋i＝4＋i，|z·＋|＝3.3．“p∧q为假”是“p∨q为假”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析 由“p∧q为假”得出p，q中至少有一个为假．当p，q为一假一真时，p∨q为真，充分性不成立；当“p∨q为假”时，p，q同时为假，所以p∧q为假，必要性成立．4．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多n(n为常数)盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯( )A．2盏B．3盏C．26盏D．27盏答案 C解析 设顶层有灯a1盏，底层有灯a9盏，灯数构成等差数列，7\n由已知得解得a9＝26.5．已知实数x，y满足约束条件则z＝的取值范围为( )A.B.C.∪D.∪答案 C解析 如图阴影部分所示，作出的可行域为三角形(包括边界)，把z＝改写为＝，所以可看作点(x，y)和(5,0)连线的斜率，记为k，则－≤k≤，所以z∈∪.6．如图是一个程序框图，若输入n的值是13，输出S的值是46，则a的取值范围是( )A．9≤a<10B．9<a≤10C．10<a≤11D．8<a≤97\n答案 B解析 依次运行程序框图，结果如下：S＝13，n＝12；S＝25，n＝11；S＝36，n＝10；S＝46，n＝9，此时退出循环，所以a的取值范围是9<a≤10.7．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为( )A．2B.C．2D．4答案 B解析 因为双曲线C：－＝1的两条渐近线互相垂直，所以渐近线方程为y＝±x，所以a＝b.因为顶点到一条渐近线的距离为1，所以＝1，即a＝1，所以a＝b＝，双曲线C的方程为－＝1，所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b＝.8．过抛物线y2＝mx(m>0)的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|＝m，则m等于( )A．4B．6C．8D．10答案 C解析 因为y2＝mx，所以焦点到准线的距离p＝，设P，Q的横坐标分别是x1，x2，则＝3，即x1＋x2＝6.因为|PQ|＝m，所以x1＋x2＋p＝m，即6＋＝m，解得m＝8.7\n9．一排12个座位坐了4个小组的成员，每个小组都是3人，若每个小组的成员全坐在一起，则不同的坐法种数为( )A．A(A)3B．A(A)4C.D.答案 B解析 12个座位坐了4个小组的成员，每个小组都是3人，操作如下：先分别把第1,2,3,4小组的3个人安排坐在一起，各有A种不同的坐法，再把这4个小组进行全排列，有A种不同的排法．根据分步乘法计数原理得，每个小组的成员全坐在一起共有(A)4A种不同的坐法．10．设函数f(x)＝x－对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≤0成立，则a等于( )A．4B．3C.D．1答案 D解析 一方面，由a－x2≥0对任意x∈[－1,1]恒成立，得a≥1；另一方面，由f(x)＝x－≤－≤0，得a≤1，所以a＝1.11．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a，b，且2a＋b＝(a>0，b>0)，则此三棱锥外接球表面积的最小值为( )A.πB.πC．4πD．5π答案 B解析 由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体ABCD－A1B1C1D1的四个顶点，即为三棱锥A－CB1D1，且长方体ABCD－A1B1C1D1的长、宽、高分别为2，a，b，7\n所以此三棱锥的外接球即为长方体ABCD－A1B1C1D1的外接球，半径为＝，所以三棱锥外接球的表面积为4π2＝π＝5π(a－1)2＋，当且仅当a＝1，b＝时，三棱锥外接球的表面积取得最小值π.12．已知点P是曲线y＝sinx＋lnx上任意一点，记直线OP(O为坐标原点)的斜率为k，则( )A．至少存在两个点P使得k＝－1B．对于任意点P都有k<0C．对于任意点P都有k<1D．存在点P使得k≥1答案 C解析 任意取x为一正实数，一方面y＝sinx＋lnx≤lnx＋1，另一方面容易证lnx＋1≤x成立，所以y＝sinx＋lnx≤x，因为y＝sinx＋lnx≤lnx＋1与lnx＋1≤x中两个等号成立的条件不一样，所以y＝sinx＋lnx<x恒成立，所以k<1，排除D；当≤x<π时，y＝sinx＋lnx>0，所以k>0，排除B；对于A选项，至少存在两个点P使得k＝－1，即＝－1至少存在两解，亦即sinx＋lnx＋x＝0至少存在两解，(sinx＋lnx＋x)′＝cosx＋＋1>0恒成立，所以sinx＋lnx＋x＝0至多存在一解，故排除A.13．已知a＝(1,2m－1)，b＝(2－m，－2)，若向量a∥b，则实数m的值为________．答案 0或7\n解析 因为向量a∥b，所以(2m－1)(2－m)＝－2，所以m＝0或m＝.14．从正五边形的边和对角线中任意取出两条，则取出的两条边或对角线所在直线不相交的概率为________．答案 解析 从5条边和5条对角线中任意取出2条，共有C＝45(个)基本事件，其中取出的两条边或对角线所在直线不相交有5个，所以取出的两条边或对角线所在直线不相交的概率为＝.15．若对任意的x∈R，都有f(x)＝f＋f，且f(0)＝－1，f＝1，则f的值为________．答案 2解析 因为f(x)＝f＋f，①所以f＝f(x)＋f，②①＋②得，f＝－f，所以f＝－f(x)，所以f(x＋π)＝f(x)，所以T＝π，所以f＝f.在f(x)＝f＋f中，令x＝，得f＝f(0)＋f，因为f(0)＝－1，f＝1，所以f＝2，所以f＝f＝2.16．设an表示正整数n的所有因数中最大的奇数与最小的奇数的等差中项，数列{an}的前n7\n项和为Sn，那么S63的值为________．答案 714解析 由已知得，当n为偶数时，an＝，当n为奇数时，an＝.因为＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋，所以－1＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋－1＝(a1＋a3＋a5＋…＋－1)＋(a2＋a4＋a6＋…＋－2)＝＋(a1＋a2＋a3＋…＋)＝(1＋2＋3＋…＋2n)＋(a1＋a2＋a3＋…＋)＝＋＝(2n＋4n)＋，即－1＝(2n＋4n)＋，所以＝(4n－1＋2n－1)＋(4n－2＋2n－2)＋…＋(41＋21)＋＝2n－1＋·4n－1－，所以S63＝＝25＋·45－＝714.7
