[70分]解答题标准练(一)1．(2022·郑州模拟)已知等差数列{an}的公差d≠0，其前n项和为Sn，若a2＋a8＝22，且a4，a7，a12成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若Tn＝＋＋…＋，证明：Tn<.(1)解 ∵数列{an}为等差数列，且a2＋a8＝22，∴a5＝(a2＋a8)＝11.∵a4，a7，a12成等比数列，∴a＝a4·a12，即(11＋2d)2＝(11－d)·(11＋7d)，又d≠0，∴d＝2，∴a1＝11－4×2＝3，∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1(n∈N*)．(2)证明 由(1)得，Sn＝＝n(n＋2)，∴＝＝，∴Tn＝＋＋…＋＝＝＝－<.∴Tn<.2．(2022·厦门质检)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝，BC＝2AD＝2，E为CD的中点，PB⊥AE.9\n(1)证明：平面PBD⊥平面ABCD；(2)若PB＝PD，PC与平面ABCD所成的角为，求二面角B－PD－C的余弦值．(1)证明 由ABCD是直角梯形，AB＝，BC＝2AD＝2，可得DC＝2，BD＝2，从而△BCD是等边三角形，∠BCD＝，BD平分∠ADC，∵E为CD的中点，DE＝AD＝1，∴BD⊥AE.又∵PB⊥AE，PB∩BD＝B，又PB，BD⊂平面PBD，∴AE⊥平面PBD.∵AE⊂平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABCD.(2)解 方法一 作PO⊥BD于点O，连接OC，∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，PO⊂平面PBD，∴PO⊥平面ABCD，∴∠PCO为PC与平面ABCD所成的角，∠PCO＝，又∵PB＝PD，∴O为BD的中点，OC⊥BD，OP＝OC＝，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，C(0，，0)，D(－1,0,0)，P(0,0，)，＝(0，，－)，＝(－1,0，－)．9\n设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，由得令z＝1，则x＝－，y＝1，得n＝(－，1,1)．又平面PBD的一个法向量为m＝(0,1,0)，设二面角B－PD－C的平面角为θ，则|cosθ|＝＝＝，由图可知θ为锐角，∴所求二面角B－PD－C的余弦值是.方法二 作PO⊥BD于点O，连接OC，∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，PO⊂平面PBD，∴PO⊥平面ABCD，∴∠PCO为PC与平面ABCD所成的角，∠PCO＝，又∵PB＝PD，∴O为BD的中点，OC⊥BD，OP＝OC＝，作OH⊥PD于点H，连接CH，则PD⊥平面CHO，又HC⊂平面CHO，则PD⊥HC，则∠CHO为所求二面角B－PD－C的平面角．由OP＝，得OH＝，∴CH＝，∴cos∠CHO＝＝＝.3．(2022·益阳模拟)某大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干A9\n水果，然后以15元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数量，该超市记录了A水果最近50天的日需求量(单位：千克)，整理得下表：日需求量140150160170180190200频数51088775以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率．(1)若该超市一天购进A水果150千克，记超市当天A水果获得的利润为X(单位：元)，求X的分布列及期望；(2)若该超市计划一天购进A水果150千克或160千克，请以当天A水果获得的利润的期望值为决策依据，在150千克与160千克之中任选其一，应选哪一个？若受市场影响，剩余的水果以7元/千克的价格退回水果基地，又该选哪一个？解 (1)若A水果日需求量为140千克，则X＝140×(15－10)－(150－140)×(10－8)＝680(元)，且P(X＝680)＝＝0.1.若A水果日需求量不小于150千克，则X＝150×(15－10)＝750(元)，且P(X＝750)＝1－0.1＝0.9.故X的分布列为X680750P0.10.9E(X)＝680×0.1＋750×0.9＝743.(2)设该超市一天购进A水果160千克，当天的利润为Y(单位：元)，则Y的可能取值为140×5－20×2,150×5－10×2,160×5，即660,730,800，则Y的分布列为Y660730800P0.10.20.7E(Y)＝660×0.1＋730×0.2＋800×0.7＝772.因为772>743，所以该超市应购进160千克A水果．9\n若剩余的水果以7元/千克的价格退回水果基地，同理可得X，Y的分布列分别为X670750P0.10.9Y640720800P0.10.20.7因为670×0.1＋750×0.9<640×0.1＋720×0.2＋800×0.7，所以该超市还是应购进160千克A水果．4.如图，在平面直角坐标系中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点K(2,0)作一直线与椭圆C交于A，B两点，过A，B两点作直线l：x＝的垂线，垂足分别为A1，B1，试问直线AB1与A1B的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．解 (1)由题意得⇒所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)①当直线AB的斜率不存在时，直线l：x＝，AB1与A1B的交点是.②当直线AB的斜率存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB为y＝k(x－2)，由得(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝，A1，B1，9\n所以lAB1：y＝＋y2，lA1B：y＝＋y1，联立解得x＝＝＝＝，代入上式可得y＝＋y2＝＝＝0.综上，直线AB1与A1B过定点.5．设函数f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)(a∈R)．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)≥0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围；(3)当θ∈时，试比较ln(tanθ)与tan的大小，并说明理由．解 (1)当a＝1时，f(x)＝(x＋1)lnx－(x－1)，f′(x)＝lnx＋，设g(x)＝lnx＋(x>0)，则g′(x)＝，当x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，g(x)min＝g(1)＝1>0，∴f′(x)>0.故f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，无单调递减区间．(2)f′(x)＝lnx＋＋1－a＝g(x)＋1－a，由(1)可知g(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，9\n则g(x)≥g(1)＝1，即f′(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，且f′(1)＝2－a，①当a≤2时，f′(x)≥0，f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，∴f(x)≥f(1)＝0满足条件；②当a>2时，设h(x)＝lnx＋＋1－a(x≥1)，则h′(x)＝－＝≥0(x≥1)，∴h(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，且h(1)＝2－a<0，h(ea)＝1＋e－a>0，∴∃x0∈[1，ea]，使得h(x0)＝0，∴当x∈[1，x0)时，h(x)<0，f(x)单调递减，即当x∈[1，x0)时，f(x)≤f(1)＝0，不满足题意．综上所述，实数a的取值范围为(－∞，2]．(3)由(2)可知，取a＝2，当x>1时，f(x)＝(x＋1)lnx－2(x－1)>0，即lnx>，当0<x<1时，>1，∴ln>⇔<，又∵tan＝，∴当0<θ<时，0<tanθ<1，ln(tanθ)<tan；当θ＝时，tanθ＝1，ln(tanθ)＝tan；当<θ<时，tanθ>1，ln(tanθ)>tan.9\n综上，当θ∈时，ln(tanθ)<tan；当θ＝时，ln(tanθ)＝tan；当θ∈时，ln(tanθ)>tan.6．已知直线l经过点P(1,2)，倾斜角α＝，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos.(1)写出直线l的参数方程的标准形式，并把圆C的方程化为直角坐标方程；(2)若直线l与圆C相交于A，B两点，求线段AB的中点M到点P的距离．解 (1)直线l的参数方程为即(t为参数，t∈R)．由ρ＝2cos，得ρ＝2cosθ＋2sinθ，∴ρ2＝2ρcosθ＋2ρsinθ，∴x2＋y2＝2x＋2y，∴圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.(2)把代入(x－1)2＋(y－1)2＝2得，2＋2＝2，整理得t2＋t－1＝0，Δ＝5>0，t1＋t2＝－1，∴|MP|＝＝.7．(2022·宿州模拟)已知函数f(x)＝x2－|x|＋3.(1)求不等式f(x)≥3x的解集；(2)若关于x的不等式f(x)－x2≤恒成立，求实数a的取值范围．解 (1)当x≥0时，f(x)＝x2－x＋3≥3x，即x2－4x＋3≥0，解得x≥3或x≤1，所以x≥3或0≤x≤1；当x<0时，f(x)＝x2＋x＋3≥3x，此不等式x2－2x＋3≥0恒成立，所以x<0.综上所述，原不等式的解集为{x|x≥3或x≤1}．9\n(2)f(x)－x2≤恒成立，即－|x|＋3≤恒成立，即＋|x|≥3恒成立，∵＋|x|＝＋＋≥＋＝|a|＋≥|a|，当且仅当x＝0时，等号成立，∴|a|≥3，解得a≥3或a≤－3.故实数a的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．9
