考前强化练5 解答题组合练(A)1.已知数列{an}是等差数列,且a1,a2(a1<a2)分别为方程x2-6x+5=0的两根.(1)求数列{an}的前n项和Sn;(2)在(1)中,设bn=Snn+c,求证:当c=-12时,数列{bn}是等差数列.2.(2022河北唐山一模,理17)已知数列{an}为单调递增数列,Sn为其前n项和,2Sn=an2+n.(1)求{an}的通项公式;(2)若bn=an+22n+1·an·an+1,Tn为数列{bn}的前n项和,证明:Tn<12.7\n3.已知五边形ABCDE是由直角梯形ABCD和等腰直角三角形ADE构成,如图所示,AB⊥AD,AE⊥DE,AB∥CD,且AB=2CD=2DE=4,将五边形ABCDE沿着AD折起,且使平面ABCD⊥平面ADE.(1)若M为DE中点,边BC上是否存在一点N,使得MN∥平面ABE?若存在,求BNBC的值;若不存在,说明理由;(2)求二面角A-BE-C的平面角的余弦值.4.(2022河南六市联考一,理19)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,O为AC与BD的交点,E为PB上任意一点.(1)证明:平面EAC⊥平面PBD;7\n(2)若PD∥平面EAC,并且二面角B-AE-C的大小为45°,求PD∶AD的值.5.(2022山东济南二模,理20)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:x2=2py(p>0),斜率为k(k≠0)的直线l经过C的焦点,且与C交于A,B两点满足OA·OB=-34.(1)求抛物线C的方程;(2)已知线段AB的垂直平分线与抛物线C交于M,N两点,R为线段MN的中点,记点R到直线AB的距离为d,若d|AB|=22,求k的值.6.已知抛物线C1:x2=y,圆C2:x2+(y-4)2=1的圆心为点M.7\n(1)求点M到抛物线C1的准线的距离;(2)已知点P是抛物线C1上一点(异于原点),过点P作圆C2的两条切线,交抛物线C1于A,B两点,若过M,P两点的直线l垂直于AB,求直线l的方程.参考答案考前强化练5 解答题组合练(A)1.(1)解解方程x2-6x+5=0得其两根分别为1和5,∵a1,a2(a1<a2)分别为方程x2-6x+5=0的两根,∴a1=1,a2=5,∴等差数列{an}的公差为4,∴Sn=n·1+n(n-1)2×4=2n2-n.(2)证明当c=-12时,bn=Snn+c=2n2-nn-12=2n,∴bn+1-bn=2(n+1)-2n=2,∴{bn}是以2为首项,公差为2的等差数列.2.(1)解当n=1时,2S1=2a1=a12+1,所以(a1-1)2=0,即a1=1,又{an}为单调递增数列,所以an≥1.由2Sn=an2+n得2Sn+1=an+12+n+1,所以2Sn+1-2Sn=an+12-an2+1,整理得2an+1=an+12-an2+1,所以an2=(an+1-1)2.所以an=an+1-1,即an+1-an=1,所以{an}是以1为首项,1为公差的等差数列,所以an=n.(2)证明bn=an+22n+1·an·an+1=n+22n+1·n·(n+1)=12n·n-12n+1·(n+1),7\n所以Tn=121·1-122·2+122·2-123·3+…+12n·n-12n+1·(n+1)=121·1-12n+1·(n+1)<12.3.(1)证明取BC中点为N,AD中点为P,连接MN,NP,MP.∵MP∥AE,AE⊂平面ABE,MP⊄平面ABE,∴MP∥平面ABE,同理NP∥平面ABE.又MP∩NP=P,∴MN∥平面ABE.∴边AB上存在这样的点N,且BNBC=12.(2)解以A为原点,以AD为y轴,以AB为z轴建立空间直角坐标系.则A(0,0,0),B(0,0,4),C(0,22,2),D(0,22,0),E(2,2,0).∵DE⊥AE,DE⊥AB,∴DE⊥平面ABE.∴平面ABE的一个法向量为DE=(2,-2,0).设平面BCE的一个法向量为n=(x,y,z),∵BC=(0,22,-2),BE=(2,2,-4),∴n·BC=22y-2z=0,n·BE=2x+2y-4z=0,令y=1,则x=3,z=2,∴n=(3,1,2),∴cos<DE,n>=DE·n|DE||n|=222×23=66,∴由图知二面角A-BE-C的平面角的余弦值为-66.4.(1)证明∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AC.又ABCD是菱形,∴BD⊥AC,故AC⊥平面PBD,∴平面EAC⊥平面PBD,(2)解连接OE,因为PD∥平面EAC,7\n所以PD∥OE,所以OE⊥平面ABCD,又O是BD的中点,故此时E为PB的中点,以O为坐标原点,射线OA,OB,OE分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设OB=m,OE=h,则OA=3m,A(3m,0,0),B(0,m,0),E(0,0,h),向量n1=(0,1,0)为平面AEC的一个法向量,设平面ABE的一个法向量为n2=(x,y,z),则n2·AB=0且n2·BE=0,即-3mx+my=0,my-hz=0,取x=1,则y=3,z=3mh,则n2=1,3,3mh.∴cos45°=|cos<n1,n2>|=|n1·n2||n1|·|n2|=31+3+3·m2h2,解得hm=62,故PD∶AD=(2h)∶(2m)=h∶m=6∶2.5.解(1)由已知,l的方程为y=kx+p2,设A(x1,y1),B(x2,y2),由x2=2py,y=kx+p2得:x2-2pkx-p2=0,(*)x1x2=-p2,y1y2=x122p·x222p=p24,OA·OB=x1x2+y1y2=-p2+p24=-3p24,由已知得:-3p24=-34,p=1,∴抛物线方程C:x2=2y.(2)由第(1)题知,p=1,C:x2=2y,l:y=kx+12,方程(*)即:x2-2kx-1=0,x1+x2=2k,x1x2=-1.设AB的中点D(x0,y0),则x0=12(x1+x2)=k,y0=kx0+12=k2+12,所以AB的中垂线MN的方程:y-k2+12=-1k(x-k),即1kx+y-k2-32=0.将MN的方程与C:x2=2y联立得:x2+2kx-2k2-3=0,设M(x3,y3),N(x4,y4),则Rx3+x42,y3+y42.∴x3+x42=-1k,y3+y42=-1kx3+x42+k2+32=1k2+k2+32.7\nR点到AB:kx-y+12=0的距离d=k2+1k2+2k2+1.|AB|=k2+1|x1-x2|=k2+1(x1+x2)2-4x1x2=k2+14k2+4=2(1+k2),所以d|AB|=k2+1k2+2k2+12(1+k2)=k2+12k2,由已知得:k2+12k2=22,得k=±1.6.解(1)由题意可知,抛物线的准线方程为y=-14,所以圆心M(0,4)到准线的距离是174.(2)设P(x0,x02),A(x1,x12),B(x2,x22),由题意得x0≠0,x0≠±1,x1≠x2.设过点P的圆C2的切线方程为y-x02=k(x-x0),即y=kx-kx0+x02.①则|kx0+4-x02|1+k2=1,即(x02-1)k2+2x0(4-x02)k+(x02-4)2-1=0.设PA,PB的斜率为k1,k2(k1≠k2),则k1,k2是上述方程的两根,所以k1+k2=2x0(x02-4)x02-1,k1k2=(x02-4)2-1x02-1.将①代入y=x2,得x2-kx+kx0-x02=0,由于x0是此方程的根,故x1=k1-x0,x2=k2-x0,所以kAB=x12-x22x1-x2=x1+x2=k1+k2-2x0=2x0(x02-4)x02-1-2x0,kMP=x02-4x0.由MP⊥AB,得kAB·kMP=2x0(x02-4)x02-1-2x0·x02-4x0=-1,解得x02=235,即点P的坐标为±235,235,所以直线l的方程为y=±3115115x+4.7
