考前强化练8 解答题综合练(A)1.已知△ABC的内切圆面积为π,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(2b-c)cosA=acosC.(1)求角A;(2)当AB·AC的值最小时,求△ABC的面积.2.9\n(2022山西太原三模,理18)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=120°,四边形ACFE为矩形,CF⊥平面ABCD,AD=CD=BC=CF,点M是线段EF的中点.(1)求证:EF⊥平面BCF;(2)求平面MAB与平面FCB所成的锐二面角的余弦值.3.学校的校园活动中有这样一个项目.甲箱子中装有大小相同、质地均匀的4个白球,3个黑球.乙箱子中装有大小相同、质地均匀的3个白球,2个黑球.(1)从两个箱子中分别摸出1个球,如果它们都是白球则获胜,有人认为,这两个箱子里装的白球比黑球多,所以获胜的概率大于0.5,你认为呢?并说明理由.(2)如果从甲箱子中不放回地随机取出4个球,求取到的白球数的分布列和期望.(3)如果从甲箱子中随机取出2个球放入乙箱中,充分混合后,再从乙箱中取出2个球放回甲箱,求甲箱中白球个数没有减少的概率.9\n4.已知动圆C与圆C1:(x-2)2+y2=1外切,又与直线l:x=-1相切.(1)求动圆C的圆心的轨迹方程E;(2)若动点M为直线l上任一点,过点P(1,0)的直线与曲线E相交于A,B两点,求证:kMA+kMB=2kMP.5.已知函数f(x)=ln(x+2a)-ax(a>0)的最大值为M(a).(1)若关于a的方程M(a)=m的两个实数根为a1,a2,求证:4a1a2<1;(2)当a>2时,证明函数g(x)=|f(x)|+x在函数f(x)的最小零点x0处取得极小值.9\n6.(2022山东临沂三模,22)已知直线l的参数方程为x=tcosφ,y=-2+tsinφ(t为参数,0≤φ<2π),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2,且l与C交于不同的两点P1,P2.(1)求φ的取值范围;(2)若φ=π3,求线段P1P2中点P0的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).7.已知函数f(x)=|2x-a|-|x+3|,a∈R.(1)当a=1时,求f(x)的最小值;9\n(2)当x∈[0,3]时,f(x)≤4恒成立,求a的取值范围.参考答案考前强化练8 解答题综合练(A)1.解(1)由正弦定理得(2sinB-sinC)cosA=sinAcosC,∴2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sinB,∵sinB≠0,∴2cosA=1,∴A=π3.(2)由余弦定理得a2=b2+c2-bc,∵△ABC的内切圆的面积S=πr2=π,∴r=1,如图,设圆I为△ABC的内切圆,D,E为切点,可得AI=2,AD=AE=3,则b+c-a=23,a=b+c-23,∴(b+c-23)2=b2+c2-bc,化简得43+3bc=4(b+c)≥8bc,∴3bc-8bc+43≥0,即(bc-23)(3bc-2)≥0,∴bc≥12或bc≤43,又b>3,c>3,∴bc≥12,AB·AC=bccosA=12bc∈[6,+∞),当且仅当b=c时,AB·AC的最小值为6,此时△ABC的面积=12bcsinA=12×12×sinπ3=33.2.解(1)在梯形ABCD中,∵AB∥CD,AD=BC,∠BCD=120°,∴∠DAB=∠ABC=60°,∠ADC=120°,又∵AD=CD,∴∠DAC=30°,∴∠CAB=30°,∴∠ACB=90°,即BC⊥AC.∵CF⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴AC⊥CF,而CF∩BC=C,∴AC⊥平面BCF,∵EF∥AC,∴EF⊥平面BCF.9\n(2)建立如图所示空间直角坐标系,设AD=CD=BC=CF=1,则C(0,0,0),A(3,0,0),B(0,1,0),M32,0,1,∴AB=(-3,1,0),BM=32,-1,1,设n1=(x,y,z)为平面MAB的一个法向量,由n1·AB=0,n1·BM=0,得-3x+y=0,32x-y+z=0,取x=1,则n1=1,3,32,∵n2=(1,0,0)是平面FCB的一个法向量,∴cosθ=|n1·n2||n1|·|n2|=11+3+34=21919.3.解(1)我认为“获胜”的概率小于0.5.理由如下:记“获胜”为事件A,则P(A)=47×35=1235<0.5,∴“获胜”的概率小于0.5.(2)设取出的白球的个数为变量X,则X的可能取值为1,2,3,4,P(X=1)=C41C33C74=435,P(X=2)=C42C32C74=1835,P(X=3)=C43C31C74=1235,P(X=4)=C44C30C74=135,∴X的分布列为X1234P43518351235135E(X)=1×435+2×1835+3×1235+4×135=167.9\n(3)记“甲箱中白球个数没有减少”为事件B,则P(B)=C32C72+C41C31C72·C42+C41C31C72+C42C72·C52C72=113147.4.(1)解令C点坐标为(x,y),C1(2,0),动圆的半径为r,则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得,|CC1|=1+r,d=r,C在直线的右侧,故C到定直线的距离是x+1,所以|CC1|-d=1,即(x-2)2+y2-(x+1)=1,化简得y2=8x.(2)证明由题意,设直线AB的方程为x=my+1,代入抛物线方程,消去x可得y2-8my-8=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(-1,t),则y1+y2=8m,y1y2=-8,x1+x2=8m2+2,x1x2=1,∴kMA+kMB=y1-tx1+1+y2-tx2+1=y1x2+y2x1+(y1+y2)-t(x1+x2)-2tx1x2+x1+x2+1=-t,2kMP=2·t-1-1=-t,∴kMA+kMB=2kMP.5.证明(1)f'(x)=1x+2a-a=-a(x+2a-1a)x+2a,x>-2a,a>0,由f'(x)>0,得-2a<x<-2a+1a;由f'(x)<0,得x>-2a+1a;∴f(x)的增区间为-2a,-2a+1a,减区间为-2a+1a,+∞,∴M(a)=f-2a+1a=2a2-1-lna,不妨设a1<a2,∴2a12-1-lna1=2a22-1-lna2,∴2(a22-a12)=lna2a1,∴2a1a2·a22-a12a1a2=lna2a1,∴4a1a2a2a1-a1a2=2lna2a1,∴4a1a2=2lna2a1a2a1-a1a2,设a2a1=t>1,则4a1a2=2lntt-1t,令h(t)=t-1t-2lnt,则h'(t)=1+1t2-2t=1-1t2>0,∴h(t)在(1,+∞)上单调递增,h(t)>h(1)=0,则t-1t>2lnt>0,9\n∴2lntt-1t<1,即4a1a2<1.(2)由(1)可知,-2a,-2a+1a为f(x)的增区间,x→-2a时,f(x)→-∞,又f-2a+1a=M(a)=2a2-1-lna,M'(a)=4a-1a>0(a>2),∴M(a)在(2,+∞)递增,则M(a)>M(2)=7-ln2>0,∴-2a<x0<-2a+1a,且-2a<x<x0时,f(x)<0;x0<x<-2a+1a时,f(x)>0,当-2a<x<-2a+1a时,g(x)=(a+1)x-ln(x+2a),-2a<x<x0,ln(x+2a)-(a-1)x,x0<x<-2a+1a,于是-2a<x<x0时,g'(x)=a+1-1x+2a<a+1-1x0+2a,∴若能证明x0<1a+1-2a,则证明(a+1)-1x0+2a<0,记H(a)=f1a+1-2a=2a2+1a+1-1-ln(a+1),则H'(a)=4a-1(a+1)2-1a+1,∵a>2,∴H'(a)>8-19-13>0,∴H(a)在(2,+∞)内单调递增,∴H(a)>H(2)=223-ln2>0,∵1a+1-2a<1a-2a,∴f(x)在-2a,1a+1-2a内单调递增,∴x0∈-2a,1a+1-2a,于是-2a<x<x0时,g'(x)=a+1-1x+2a<a+1-11a+1-2a+2a=0,∴g(x)在(-2a,x0)递减,当x0<x<-2a+1a时,g'(x)=(a+1)-1x+2a>11a-2a+2a-(a-1)=1>0,∴g(x)在x0,-2a+1a递增,故x0是g(x)的极小值点.6.解(1)∵曲线C的极坐标方程为ρ=2,∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2,将x=tcosφ,y=-2+tsinφ代入x2+y2=2,得t2-4tsinφ+2=0,由Δ=16sin2φ-8>0,得|sinφ|>22,又0≤φ<2π,∴φ的取值范围为π4,3π4∪5π4,7π4.9\n(2)当φ=π3时,直线l的参数方程为x=12t,y=-2+32t,消去参数t,得直线l的普通方程为3x-y-2=0,设P0(ρ0,θ0),则ρ0=|-2|(3)2+1=1,把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入l的普通方程,得l的极坐标方程为3ρcosθ-ρsinθ-2=0,当ρ0=1时,得3cosθ0-sinθ0-2=0,即得sinθ0-π3=-1.由0≤θ<2π,得θ0-π3=3π2,∴θ0=11π6,即P0的极坐标为1,11π6.7.解(1)当a=1时,函数f(x)=|2x-1|-|x+3|,当x≤-3时,f(x)=1-2x+(x+3)=4-x,此时f(x)min=f(-3)=7.当-3<x<12时,f(x)=1-2x-(x+3)=-3x-2,此时f(x)>f12=-3×12-2=-72.当x≥12时,f(x)=2x-1-(x+3)=x-4,此时f(x)min=f12=12-4=-72,综上,f(x)的最小值为-72.(2)当x∈[0,3]时,f(x)≤4恒成立,可化为|2x-a|≤x+7,即-x-7≤2x-a≤x+7恒成立,得x-7≤a≤3x+7恒成立,由x∈[0,3],得3x+7≥7,x-7≤-4,∴-4≤a≤7,即a的取值范围为[-4,7].9
