考前强化练9 解答题综合练(B)1.已知函数f(x)=12x2+mx(m>0),数列{an}的前n项和为Sn.点(n,Sn)在f(x)图象上,且f(x)的最小值为-18,(1)求数列{an}的通项公式;(2)数列{bn}满足bn=2an(2an-1)(2an+1-1),记数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<1.2.(2022湖南长郡中学二模,理18)如图,点C在以AB为直径的圆O上,PA垂直于圆O所在平面,G为△AOC的重心.9\n(1)求证:平面OPG⊥平面PAC;(2)若PA=AB=2AC=2,求二面角A-OP-G的余弦值.3.2022年春节期间,某服装超市举办了一次有奖促销活动,消费每超过600元(含600元),均可抽奖一次,抽奖方案有两种,顾客只能选择其中的一种.方案一:从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个,黑球7个)的抽奖盒中,一次性摸出3个球,其中奖规则为:若摸到3个红球,享受免单优惠;若摸出2个红球则打6折,若摸出1个红球,则打7折;若没摸出红球,则不打折.方案二:从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个,黑球7个)的抽奖盒中,有放回每次摸取1球,连摸3次,每摸到1次红球,立减200元.(1)若两个顾客均分别消费了600元,且均选择抽奖方案一,试求两位顾客均享受免单优惠的概率;(2)若某顾客消费恰好满1000元,试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算?9\n4.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为6,且椭圆C与圆M:(x-2)2+y2=409的公共弦长为4103.(1)求椭圆C的方程.(2)过点P(0,2)作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于两点A,B,试判断在x轴上是否存在点D,使得△ADB为以AB为底边的等腰三角形.若存在,求出点D的横坐标的取值范围,若不存在,请说明理由.5.已知函数f(x)=2lnx-2mx+x2(m>0),(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当m≥322时,若函数f(x)的导函数f'(x)的图象与x轴交于A,B两点,其横坐标分别为x1,x2(x1<x2),线段AB的中点的横坐标为x0,且x1,x2恰为函数h(x)=lnx-cx2-bx的零点,求证:(x1-x2)h'(x0)≥-23+ln2.9\n6.已知直线l的参数方程为x=4+22t,y=22t(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ,直线l与圆C交于A,B两点.(1)求圆C的直角坐标方程及弦AB的长;(2)动点P在圆C上(不与A,B重合),试求△ABP的面积的最大值.7.已知函数f(x)=|2x-1|+|x+1|.(1)求函数f(x)的值域M;(2)若a∈M,试比较|a-1|+|a+1|,32a,72-2a的大小.9\n参考答案考前强化练9 解答题综合练(B)1.(1)解f(x)=12(x+m)2-m22,故f(x)的最小值为-m22=-18,又m>0,所以m=12,即Sn=12n2+12n,所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n;当n=1时,a1=1也适合上式,所以数列{an}的通项公式为an=n.(2)证明由(1)知bn=2an(2an-1)(2an+1-1)=12n-1-12n+1-1,所以Tn=1-13+13-17+…+12n-1-12n+1-1=1-12n+1-1,所以Tn<1.2.(1)证明如图,延长OG交AC于点M.∵G为△AOC的重心,∴M为AC的中点.∵O为AB的中点,∴OM∥BC.∵AB是圆O的直径,∴BC⊥AC,∴OM⊥AC.∵PA⊥平面ABC,OM⊂平面ABC,∴PA⊥OM.又PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,PA∩AC=A,∴OM⊥平面PAC,即OG⊥平面PAC.又OG⊂平面OPG,∴平面OPG⊥平面PAC.(2)解以点C为原点,CB,CA,AP方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系C-xyz,则C(0,0,0),A(0,1,0),B(3,0,0),O32,12,0,P(0,1,2),M0,12,0,则OM=-32,0,0,OP=-32,12,2.9\n平面OPG即为平面OPM,设平面OPM的一个法向量为n=(x,y,z),则n·OM=-32x=0,n·OP=-32x+12y+2z=0,令z=1,得n=(0,-4,1).过点C作CH⊥AB于点H,由PA⊥平面ABC,易得CH⊥PA,又PA∩AB=A,∴CH⊥平面PAB,即CH为平面PAO的一个法向量.在Rt△ABC中,由AB=2AC,得∠ABC=30°,则∠HCB=60°,CH=12CB=32.∴xH=CHcos∠HCB=34,yH=CHsin∠HCB=34.所以CH=34,34,0.设二面角A-OP-G的大小为θ,则cosθ=|CH·n||CH|·|n|=|0×34-4×34+1×0|316+916×42+12=25117.3.解(1)选择方案一若享受到免单优惠,则需要摸出三个红球,设顾客享受到免单优惠为事件A,则P(A)=C33C103=1120,所以两位顾客均享受到免单的概率为P=P(A)·P(A)=114400.(2)若选择方案一,设付款金额为X元,则X可能的取值为0,600,700,1000.P(X=0)=C33C103=1120,P(X=600)=C32C71C103=740,P(X=700)=C31C72C103=2140,P(X=1000)=C73C103=724,故X的分布列为X06007001000P11207402140724∴E(X)=0×1120+600×740+700×2140+1000×724=76416(元).若选择方案二,设摸到红球的个数为Y,付款金额为Z,则Z=1000-200Y,9\n由已知可得Y~B3,310,故E(Y)=3×310=910,∴E(Z)=E(1000-200Y)=1000-200E(Y)=820(元).因为E(X)<E(Z),所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.4.解(1)由题意可得2a=6,∴a=3.由椭圆C与圆M:(x-2)2+y2=409的公共弦长为4103,恰为圆M的直径,可得椭圆C经过点2,±2103,∴49+409b2=1,解得b2=8.所以椭圆C的方程为x29+y28=1.(2)直线l的解析式为y=kx+2,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为E(x0,y0).假设存在点D(m,0),使得△ADB为以AB为底边的等腰三角形,则DE⊥AB.由y=kx+2,x29+y28=1,得(8+9k2)x2+36kx-36=0,故x1+x2=-36k9k2+8,∴x0=-18k9k2+8,y0=kx0+2=169k2+8.∵DE⊥AB,∴kDE=-1k,即169k2+8-0-18k9k2+8-m=-1k,∴m=-2k9k2+8=-29k+8k.当k>0时,9k+8k≥29×8=122,∴-212≤m<0;当k<0时,9k+8k≤-122,∴0<m≤212.综上所述,所求点D的横坐标的取值范围为-212,0∪0,212.5.(1)解由f(x)=2lnx-2mx+x2的定义域为(0,+∞),则f'(x)=2(x2-mx+1)x.令x2-mx+1=0,其判别式Δ=m2-4.当m2-4≤0,即0<m≤2时,f'(x)≥0恒成立,故f(x)在(0,+∞)内单调递增.当m2-4>0,即m>2,方程x2-mx+1=0有两个根x=m±m2-42,9\n令f'(x)>0,得0<x<m-m2-42或x>m+m2-42,此时f(x)单调递增;令f'(x)<0,得m-m2-42<x<m+m2-42,此时f(x)单调递减.综上所述,当0<m≤2时,f(x)在(0,+∞)内单调递增;当m>2时,f(x)在m-m2-42,m+m2-42内单调递减,在0,m-m2-42,m+m2-42,+∞内单调递增.(2)证明由(1)知,f'(x)=2(x2-mx+1)x,∴f'(x)的两根x1,x2即为方程x2-mx+1=0的两根.∵m≥322,∴Δ=m2-4>0,x1+x2=m,x1x2=1.又∵x1,x2为h(x)=lnx-cx2-bx的零点,∴lnx1-cx12-bx1=0,lnx2-c22-bx2=0,两式相减得lnx1x2-c(x1-x2)(x1+x2)-b(x1-x2)=0,得b=lnx1x2x1-x2-c(x1+x2).而h'(x)=1x-2cx-b,∴(x1-x2)h'(x0)=(x1-x2)1x0-2cx0-b=(x1-x2)2x1+x2-c(x1+x2)-lnx1x2x1-x2+c(x1+x2)=2(x1-x2)x1+x2-lnx1x2=2x1x2-1x1x2+1-lnx1x2.令x1x2=t(0<t<1),由(x1+x2)2=m2得x12+x22+2x1x2=m2,∵x1x2=1,两边同时除以x1x2,得t+1t+2=m2,∵m≥322,故t+1t≥52,解得0<t≤12或t≥2,∴0<t≤12.设G(t)=2·t-1t+1-lnt,∴G'(t)=-(t-1)2t(t+1)2<0,则y=G(t)在0,12上是减函数,∴G(t)min=G12=-23+ln2,即y=(x1-x2)h'(x0)的最小值为-23+ln2.∴(x1-x2)h'(x0)≥-23+ln2.6.解(1)由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ,9\n所以x2+y2-4x=0,所以圆C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.将直线l的参数方程代入圆C:(x-2)2+y2=4,并整理得t2+22t=0,解得t1=0,t2=-22,所以直线l被圆C截得的弦长为|t1-t2|=22.(2)直线l的普通方程为x-y-4=0.圆C的参数方程为x=2+2cosθ,y=2sinθ(θ为参数),可设圆C上的动点P(2+2cosθ,2sinθ),则点P到直线l的距离d=|2+2cosθ-2sinθ-4|2=|2cosθ+π4-2|.当cosθ+π4=-1时,d取最大值,且d的最大值为2+2,所以S△ABP≤12×22×(2+2)=2+22,即△ABP的面积的最大值为2+22.7.解(1)f(x)=-3x,x<-1,2-x,-1≤x≤12,3x,x>12,根据函数f(x)的单调性可知,当x=12时,f(x)min=f12=32.所以函数f(x)的值域M=32,+∞.(2)∵a∈M,∴a≥32,∴0<32a≤1.又|a-1|+|a+1|=a-1+a+1=2a≥3,∴a≥32,知a-1>0,4a-3>0,∴(a-1)(4a-3)2a>0,∴32a>72-2a,所以|a-1|+|a+1|>32a>72-2a.9
