考前强化练6 解答题组合练(B)1.已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,b=3.(1)若C=5π6,△ABC的面积为32,求c;(2)若B=π3,求2a-c的取值范围.2.(2022山西太原一模,文17)△ABC中的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acosCsinB=bsinB+ccosC.(1)求角B;(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.7\n3.某高校在2022年的自主招生笔试成绩(满分200分)中,随机抽取100名考生的成绩,按此成绩分成五组,得到如下的频率分布表:组号分组频数频率第一组[90,110)15a第二组[110,130)250.25第三组[130,150)300.3第四组[150,170)bc第五组[170,190]100.1(1)求频率分布表中a,b,c的值,并估计全体考生的平均成绩;(2)用分层抽样的方法从第三、四、五组中共抽取n名考生,已知从第五组中恰好抽取了两名考生.①求n的值;②若该高校的三位考官每人都独立地从这n名考生中随机抽取2名考生进行面试,记考生甲被抽到的次数为X,求X的分布列与数学期望.7\n4.(2022河北石家庄一模,理19)小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作,该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案:底薪100元,每派送一单奖励1元;乙方案:底薪140元,每日前55单没有奖励,超过55单的部分每单奖励12元.(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y(单位:元)与送货单数n的函数关系式;(2)根据该公司所有派送员100天的派送记录,发现派送员的日平均派送单数满足以下条件:在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图,其中当某天的派送量指标在2(n-1)10,2n10(n=1,2,3,4,5)时,日平均派送量为50+2n单.若将频率视为概率,回答下列问题:①根据以上数据,设每名派送员的日薪为X(单位:元),试分别求出甲、乙两种方案的日薪X的分布列,数学期望及方差;②结合①中的数据,根据统计学的思想,帮助小明分析,他选择哪种薪酬方案比较合适,并说明你的理由.(参考数据:0.62=0.36,1.42=1.96,2.62=6.76,3.42=11.56,3.62=12.96,4.62=21.16,15.62=243.36,20.42=416.16,44.42=1971.36)7\n5.(2022河北唐山三模,理21)已知函数f(x)=ln(x+1)+ax2,a>0.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)在区间(-1,0)有唯一零点x0,证明:e-2<x0+1<e-1.参考答案考前强化练6 解答题组合练(B)1.解(1)∵C=5π6,△ABC的面积为32,b=3,∴由三角形的面积公式S=12absinC=12×a×3×12=32,得a=2.7\n由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=4+3-2×2×3×-32=13.∴c的值为13.(2)由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=2R.∴a=bsinAsinB=2sinA,c=bsinCsinB=2sinC,∴2a-c=4sinA-2sinC=4sin2π3-C-2sinC=4sin2π3cosC-cos2π3sinC-2sinC=23cosC.∵B=π3,∴0<C<2π3,∴-12<cosC<1,∴-3<23cosC<23,∴2a-c的取值范围为(-3,23).2.解(1)利用正弦定理,得sinAcosCsinB=1+sinCcosC,即sin(B+C)=cosCsinB+sinCsinB,∴sinBcosC+cosBsinC=cosCsinB+sinCsinB,∴cosBsinC=sinCsinB,又sinB≠0,∴tanB=1,B=π4.(2)由(1)得B=π4,由余弦定理可得:b2=a2+c2-2accosB,则有2=a2+c2-2ac,即有2+2ac=a2+c2,又由a2+c2≥2ac,则有2+2ac≥2ac,变形可得:ac≤22-2=2+2,则S=12acsinB=24ac≤2+12.即△ABC面积的最大值为2+12.3.解(1)由题意知:a=15100=0.15,b=100-15-25-30-10=20,c=b100=0.2.平均成绩x=100×0.15+120×0.25+140×0.3+160×0.2+180×0.1=137.(2)①∵60n=102,∴n=12.②从12名考生中随机抽取2人,设甲被抽到的概率为p.则p=C11C111C122=11×212×11=16.7\n三位面试官先后用同样的方式来抽取考生面试,可看作3次独立重复试验,故X~B3,16,∴E(X)=3×16=12.4.解(1)甲方案中派送员日薪y(单位:元)与送单数n的函数关系式为:y=100+n,n∈N,乙方案中派送员日薪y(单位:元)与送单数n的函数关系式为:y=140,n≤55,n∈N,12n-520,n>55,n∈N.(2)①由已知,在这100天中,该公司派送员日平均派送单数满足如下表格:单数5254565860频率0.20.30.20.20.1所以x甲的分布列为:x甲152154156158160P0.20.30.20.20.1所以E(X甲)=152×0.2+154×0.3+156×0.2+158×0.2+160×0.1=155.4,s甲2=0.2×(152-155.4)2+0.3×(154-155.4)2+0.2×(156-155.4)2+0.2×(158-155.4)2+0.1×(160-155.4)2=6.44,所以x乙的分布列为:x乙140152176200P0.50.20.20.1所以E(X乙)=140×0.5+152×0.2+176×0.2+200×0.1=155.6,s乙2=0.5×(140-155.6)2+0.2×(152-155.6)2+0.2×(176-155.6)2+0.1×(200-155.6)2=404.64,②答案一:由以上的计算可知,虽然E(X甲)<E(X乙),但两者相差不大,且s甲2远小于s乙2,即甲方案日工资收入波动相对较小,所以小明应选择甲方案.答案二:由以上的计算结果可以看出,E(X甲)<E(X乙),即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望,所以小明应选择乙方案.5.(1)解f'(x)=1x+1+2ax=2ax2+2ax+1x+1,x>-1,令g(x)=2ax2+2ax+1,Δ=4a2-8a=4a(a-2),若Δ<0,即0<a<2,则g(x)>0,当x∈(-1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,若Δ=0,即a=2,则g(x)≥0,当且仅当x=-12时,等号成立,当x∈(-1,+∞)时,f'(x)≥0,f(x)单调递增.若Δ>0,即a>2,则g(x)有两个零点x1=-a-a(a-2)2a,x2=-a+a(a-2)2a,由g(-1)=g(0)=1>0,g-12<0得-1<x1<-12<x2<0,当x∈(-1,x1)时,g(x)>0,f'(x)>0,f(x)单调递增;7\n当x∈(x1,x2)时,g(x)<0,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(x2,+∞)时,g(x)>0,f'(x)>0,f(x)单调递增.综上所述,当0<a≤2时,f(x)在(-1,+∞)上单调递增;当a>2时,f(x)在-1,-a-a(a-2)2a和-a+a(a-2)2a,+∞上单调递增,在-a-a(a-2)2a,-a+a(a-2)2a上单调递减.(2)证明由(1)及f(0)=0可知:仅当极大值等于零,即f(x1)=0时,符合要求.此时,x1就是函数f(x)在区间(-1,0)的唯一零点x0.所以2ax02+2ax0+1=0,从而有a=-12x0(x0+1).又因为f(x0)=ln(x0+1)+ax02=0,所以ln(x0+1)-x02(x0+1)=0,令x0+1=t,则lnt-t-12t=0.设h(t)=lnt+12t-12,则h'(t)=2t-12t2,再由(1)知:0<t<12,h'(t)<0,h(t)单调递减,又因为h(e-2)=e2-52>0,h(e-1)=e-32<0,所以e-2<t<e-1,即e-2<x0+1<e-1.7
