补偿练7 立体几何(限时：40分钟)一、选择题1.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 由题意可知，几何体是三棱锥，其放置在长方体中形状如图所示，三棱锥A－BCD，利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面中，全部是直角三角形.答案 D2.已知l是直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中的真命题是( )A.若l∥α，l∥β，则α∥βB.若α⊥β，l∥α，则l⊥βC.若l∥α，α∥β，则l∥βD.若l⊥α，l∥β，则α⊥β解析 对于A，若l∥α，l∥β，则α∥β或α与β相交，所以A错；对于B，若α⊥β，l∥α，则l⊥β或l⊂β或l与β相交，所以B错；对于C，若l∥α，α∥β，则l∥β或l⊂β，所以C错；对于D，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，由面面垂直的判定可知选项D正确.答案 D3.已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该锥体的俯视图可以是( )6\n解析 由正视图得：该锥体的高是h＝＝，因为该锥体的体积为，所以该锥体的底面面积是S＝＝＝2.A项的正方形的面积是2×2＝4，B项的圆的面积是π×12＝π，C项的三角形的面积是×2×2＝2，D项的三角形的面积是×22＝.答案 C4.已知某几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )A.cm3B.cm3C.2cm3D.4cm3解析 由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2cm，高为2cm的四棱锥，如图，故V＝×22×2＝(cm3).答案 B5.某空间几何体的三视图如图所示(其中俯视图的弧线为四分之一圆)，则该几何体的表面积为( )A.5π＋4B.8π＋4C.5π＋12D.8π＋12解析 由三视图可知，该几何体是底面为圆的柱体，S表＝2×＋(π＋4)×3＝5π＋12.答案 C6.设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件为( )A.a⊥c，b⊥cB.α⊥β，a⊂α，b⊂β6\nC.a⊥α，b∥αD.a⊥α，b⊥α解析 A中，若a⊥c，b⊥c，则直线a与直线b可能异面，可能平行，可能垂直，所以此选项错误；B中，若α⊥β，a⊂α，b⊂β，则直线a与直线b可能异面，可能平行，可能垂直，所以此选项错误：C中，若a⊥α，b∥α，则根据线与线的位置关系可得a⊥b，所以C正确；D中，若a⊥α，b⊥α，则根据线面垂直的性质定理可得a∥b.答案 C7.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，①DA1与BC1平行；②DD1与BC1垂直；③BC1与AC所成角为60°.以上三个结论中，正确结论的序号是( )A.①B.②C.③D.②③解析 ①错，应为DA1⊥BC1；②错，两直线所成角为45°；③正确，将BC1平移至AD1，由于三角形AD1C为等边三角形，故两异面直线所成角为60°，即正确结论的序号为③，故选C.答案 C8.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.其中正确的命题是( )A.①②B.②③C.③④D.①④解析 由面面垂直的判定定理知①正确；若m，n是平面α内两条平行直线，则②的结论不一定成立，故②错；若m，n是互相平行的两个平面内的两条异面直线，则n与α平行，故③错误；由α∩β＝m得m⊂α，m⊂β，又n∥m，n⊄α，n⊄β，所以n∥α，n∥β，故④正确.答案 D9.一只蚂蚁从正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是( )A.①②B.②③C.②④D.①③解析 由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，共有6种展开方式，若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展开到同一个平面内，在矩形中连接AC1会经过BB16\n的中点，此时的正视图为②.若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一个平面内，在矩形中连接AC1会经过CD的中点，此时正视图是④.其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现.故选C.答案 C10.如图是一个几何体的三视图，由图中数据可知该几何体中最长棱的长度是( )A.6B.2C.5D.解析 由三视图知：几何体为三棱锥，如图：其中SA⊥平面ABC，AC⊥平面SAB，SA＝2，AB＝4，AC＝3，∴BC＝5，SC＝＝，SB＝＝2，∴最长棱为BC＝5.答案 C11.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为( )A.4πB.12πC.2πD.4π解析 三视图复原的几何体如图，它的底面为等腰直角三角形，底边长为2，底边上的高是，所以腰长是2，一条长为2的侧棱垂直底面的一个顶点，它的外接球，就是将其扩展为正方体的外接球，球的直径为2，所以体积为π·()3＝4π.答案 A12.点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB＝BC＝，AC＝2，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为( )A.B.8πC.D.6\n解析 如图所示，O为球的球心，由AB＝BC＝，AC＝2可知∠ABC＝，即△ABC所在圆面的圆心O1为AC的中点，故AO1＝1，S△ABC＝1，当D为O1O的延长线与球面的交点时，D到平面ABC的距离最大，四面体ABCD的体积最大.连接OA，设球的半径为R，则DO1＝R＋，此时VD－ABC＝×S△ABC×DO1＝(R＋)＝，解得R＝，故这个球的表面积为4π＝.答案 C二、填空题13.已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24，则正视图中a的值为________.解析 由三视图知，该几何体为四棱锥，其中四棱锥的底面是边长为a和3的长方形，四棱锥的高为4，所以该四棱锥的体积V＝×3a×4＝24，所以a＝6.答案 614.若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为________(写出所有真命题的序号).①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线.②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直.③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线.④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线.解析 对于①，若直线m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内，存在与直线m平行的直线，故①错误；对于②，若直线m⊥α，则直线m垂直于平面α内的所有直线，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直，故②正确；对于③，若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线，故③错误；对于④，若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线，故④正确.答案 ②④15.四棱锥P－ABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是腰长为a的等腰三角形，则在四棱锥P－ABCD6\n的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有________对.解析 由题意可得PA⊥BC，PA⊥CD，AB⊥PD，BD⊥PA，BD⊥PC，AD⊥PB，即互相垂直的异面直线共有6对.答案 616.点E、F、G分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、BC、B1C1的中点，如图所示，则下列命题中的真命题是________(写出所有真命题的编号).①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面中最多只有三个面是直角三角形；②过点F、D1、G的截面是正方形；③点P在直线FG上运动时，总有AP⊥DE；④点Q在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1QC的体积是定值；⑤点M是正方体的面A1B1C1D1内的到点D和C1距离相等的点，则点M的轨迹是一条线段.解析 对于①，三棱锥A－BCC1的四个面都是直角三角形，故①为假命题；对于②，截面为矩形FGD1D，易知其边长不等，故②为假命题；③易证DE⊥平面AFG，又AP⊂平面AFG，故DE⊥AP，故③为真命题；④由于BC1∥平面ACD1，故三棱锥Q－ACD1的高为定值，即点Q到平面ACD1的距离为定值，而底面积S△ACD1也为定值，故三棱锥的体积VA－D1QC＝VQ－ACD1为定值，故④为真命题；⑤到D、C1距离相等的点的轨迹为平面A1BCD1(中垂面)，又点M在面A1B1C1D1内，故点M的轨迹为线段A1D1，故⑤为真命题.答案 ③④⑤6
