补偿练2 函数与导数(限时：40分钟)一、选择题1.已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N＝( )A.{x|x＞－1}B.{x|x＜1}C.{x|－1＜x＜1}D.∅解析 ∵函数的定义域是指使函数式有意义的自变量x的取值范围，∴由1－x＞0求得函数的定义域M＝{x|x＜1}，由1＋x＞0，得N＝{x|x＞－1}，∴M∩N＝{x|－1＜x＜1}.答案 C2.设函数f(x)＝则f的值是( )A.－1B.C.2D.4解析 f＝log2＝－1，∴f＝f(－1)＝2－1＝.答案 B3.函数f(x)＝lnx＋x3－9的零点所在的区间为( )A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)解析 由于函数f(x)＝lnx＋x3－9在(0，＋∞)上是增函数，f(2)＝ln2－1＜0，f(3)＝ln3＞0，故函数f(x)＝lnx＋x3－9在区间(2，3)上有唯一的零点.答案 C4.f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，则当x＜0时，f(x)＝( )A.－x3－ln(1－x)B.x3＋ln(1－x)C.x3－ln(1－x)D.－x3＋ln(1－x)解析 当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)3＋ln(1－x)，∵f(x)是R上的奇函数，∴x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋ln(1－x)]，∴f(x)＝x3－ln(1－x).答案 C5\n5.已知函数f(x)＝在区间(－∞，＋∞)上是增函数，则常数a的取值范围是( )A.(1，2)B.(－∞，1]∪[2，＋∞)C.[1，2]D.(－∞，1)∪(2，＋∞)解析 由于f(x)＝且f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，则当x≥0时，y＝x2显然递增；当x＜0时，y＝x3＋a2－3a＋2的导数为y′＝3x2≥0，则递增；由f(x)在R上单调递增，则02≥03＋a2－3a＋2，即a2－3a＋2≤0，解得1≤a≤2.答案 C6.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且在(0，＋∞)内有1007个零点，则f(x)的零点共有( )A.1007个B.2013个C.2014个D.2015个解析 因为已知f(x)是定义域为R的奇函数，故函数的图象关于原点对称，再由函数在(0，＋∞)内有1007个零点，可得函数在(－∞，0)内也有1007个零点，再根据f(0)＝0，可得函数的零点个数为1007＋1007＋1＝2015.答案 D7.定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x)＝f(x＋4)，且x∈(－1，0)时，f(x)＝2x＋，则f(log220)＝( )A.1B.C.－1D.－解析 ∵定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数，又∵f(x)＝f(x＋4).∴函数f(x)为周期为4的周期函数，又∵log232＞log220＞log216，∴4＜log220＜5，∴f(log220)＝f(log220－4)＝f＝－f＝－f，5\n又∵x∈(－1，0)时，f(x)＝2x＋，∴f＝1，故f(log220)＝－1.答案 C8.已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为( )A.3B.2C.1D.解析 令切点坐标为(x0，y0)，且x0＞0，∵y′＝x－，∴k＝x0－＝－，∴x0＝2.答案 B9.设函数f(x)＝xex，则( )A.x＝1为f(x)的极大值点B.x＝1为f(x)的极小值点C.x＝－1为f(x)的极大值点D.x＝－1为f(x)的极小值点解析 f′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex，当x＞－1时，f′(x)＞0，函数f(x)递增，当x＜－1时，f′(x)＜0，函数f(x)递减，所以当x＝－1时，f(x)有极小值.答案 D10.已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0，1)上为减函数，函数g(x)＝x2－alnx在(1，2)上为增函数，则a的值等于( )A.1B.2C.0D.解析 ∵函数f(x)＝x2－ax＋3在(0，1)上为减函数，∴≥1，得a≥2.又∵g′(x)＝2x－，依题意g′(x)≥0在x∈(1，2)上恒成立，得2x2≥a在x∈(1，2)上恒成立，有a≤2，∴a＝2.答案 B11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(－3)＝f(5)＝1，f′(x)为5\nf(x)的导函数，且导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜1的解集是( )A.(－3，0)B.(－3，5)C.(0，5)D.(－∞，－3)∪(5，＋∞)解析 由图可知函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增.因为f(－3)＝f(5)＝1，故不等式f(x)＜1的解集为(－3，5)，故选B.答案 B12.已知定义域为R的奇函数f(x)的导函数为f′(x)，当x＞0时，f′(x)＋＞0，若a＝f，b＝－2f(－2)，c＝f，则a，b，c的大小关系正确的是( )A.a＜c＜bB.b＜c＜aC.a＜b＜cD.c＜a＜b解析 设h(x)＝xf(x)，∴h′(x)＝f(x)＋x·f′(x)，∵y＝f(x)是定义在实数集R上的奇函数，∴h(x)是定义在实数集R上的偶函数，当x＞0时，h′(x)＝f(x)＋x·f′(x)＞0，∴此时函数h(x)单调递增.∵a＝f＝h，b＝－2f(－2)＝2f(2)＝h(2)，c＝f＝h＝h(－ln2)＝h(ln2)，又2＞ln2＞，∴b＞c＞a.答案 A二、填空题13.已知函数f(x)＝若f(a)＝－1，则实数a的值为________.解析 若a≤0，则－ea＋1＝－1，解得a＝－1；若a＞0，则a－2＝－1，解得a＝1.综上所述，a＝±1.答案 ±114.已知幂函数f(x)＝x－m2－2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数，则f(2)的值为________.5\n解析 因为幂函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，所以－m2－2m＋3＞0，解得－3＜m＜1，因为m∈Z，所以m＝－2或－1或0.因为幂函数f(x)为偶函数，所以－m2－2m＋3是偶数，当m＝－2时，－m2－2m＋3＝3，不符合，舍去；当m＝－1时，－m2－2m＋3＝4；当m＝0时，－m2－2m＋3＝3，不符合，舍去.所以f(x)＝x4，故f(2)＝24＝16.答案 1615.设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为________.解析 ∵f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋(a－3)，∵f′(x)是偶函数，∴3(－x)2＋2a(－x)＋(a－3)＝3x2＋2ax＋(a－3)，解得a＝0，∴f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3，则f(2)＝2，k＝f′(2)＝9，即切点为(2，2)，切线的斜率为9，∴切线方程为y－2＝9(x－2)，即9x－y－16＝0.答案 9x－y－16＝016.设边长为1m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝，则S的最小值是________.解析 如图所示，设AD＝xm(0＜x＜1)，则DE＝AD＝xm，∴梯形的周长为x＋2(1－x)＋1＝3－x(m)，又S△ADE＝x2(m2)，∴梯形的面积为－x2(m2)，∴S＝×(0＜x＜1)，∴S′＝×，令S′＝0，得x＝或3(舍去)，当x∈时，S′＜0，S递减；当x∈时，S′＞0，S递增.故当x＝时，S的最小值是.答案 5
