补偿练5 平面向量(限时：40分钟)一、选择题1.向量a＝(m，1)，b＝(n，1)，则＝1是a∥b的( )A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析 若m＝n，则由向量的定义显然有a＝b，必有a∥b，若a∥b，则m·1－n·1＝0，得m＝n，不能推出＝1，故选A.答案 A2.已知向量a＝(3，4)，若|λa|＝5，则实数λ的值为( )A.B.1C.±D.±1解析 因为a＝(3，4)，所以|a|＝＝5，因为|λa|＝|λ|·|a|＝5，所以5|λ|＝5，解得：λ＝±1.答案 D3.已知向量a＝(1，2)，b＝(2，0)，c＝(1，－2)，若向量λa＋b与c共线，则实数λ的值为( )A.－2B.－C.－1D.－解析 由题知λa＋b＝(λ＋2，2λ)，又λa＋b与c共线，∴－2(λ＋2)－2λ＝0，∴λ＝－1.答案 C4.已知a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，向量λa＋b与向量a－2b垂直，则实数λ的值为( )A.－B.C.－D.解析 λa＋b＝(－3λ－1，2λ)，a－2b＝(－1，2)，由(λa＋b)·(a－2b)＝0得(－3λ－1，2λ)·(－1，2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－.答案 A5.在平面四边形ABCD中，满足＋＝0，(－)·＝0，则四边形ABCD是( )A.矩形B.正方形C.菱形D.梯形5\n解析 因为＋＝0，所以＝－＝，所以四边形ABCD是平行四边形，又(－)·＝·＝0，所以四边形的对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形.答案 C6.已知a＝(1，－2)，|b|＝2，且a∥b，则b＝( )A.(2，－4)B.(－2，4)C.(2，－4)或(－2，4)D.(4，－8)解析 设b＝(x，y)，由题意可得解得或∴b＝(2，－4)或(－2，4).答案 C7.已知△ABC中，平面内一点P满足＝＋，若||＝t||，则t的值为( )A.3B.C.2D.解析 由题意可知＝－＝－＝(－)＝，同理可得＝－，∴||＝2||，即t＝2.答案 C8.若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角为( )A.B.C.D.解析 由题意作图，设＝b，＝a，结合向量的几何意义可知∠ABD＝∠CAB＝，故向量a＋b与a－b的夹角为与的夹角为.答案 D9.在△ABC中，若|＋|＝|－|，AB＝2，AC＝1，E、F为BC边的三等分点，则·＝( )A.B.5\nC.D.解析 若|＋|＝|－|，则2＋2＋2·＝2＋2－2·，即有·＝0，E，F为BC边的三等分点，则·＝(＋)·(＋)＝·＝·＝2＋2＋·＝×(1＋4)＋0＝.答案 B10.已知△ABC中，||＝10，·＝－16，D为边BC的中点，则||＝( )A.6B.5C.4D.3解析 ∵＝(＋)，·＝－16，∴||||cos∠BAC＝－16，在△ABC中，||2＝||2＋||2－2||||·cos∠BAC，∴102＝||2＋||2＋32，即||2＋||2＝68，∴||2＝(2＋2＋2·)＝(68－32)＝9，∴||＝3.答案 D11.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则＝( )5\nA.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b解析 ＝＋＝＋＝a＋b，∵E是OD的中点，＝，∴＝＝(－)＝×＝－＝a－b，∴＝＋＝a＋b＋a－b＝a＋b.答案 C12.已知a，b是两个互相垂直的单位向量，且c·a＝c·b＝1，则对任意的正实数t，|c＋ta＋b|的最小值是( )A.2B.2C.4D.4解析 设a＝(1，0)，b＝(0，1)，则c＝(1，1)，代入得c＋ta＋b＝，所以|c＋ta＋b|＝＝≥2.答案 B二、填空题13.设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝________.解析 ∵|a＋b|＝，|a－b|＝，∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝10，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝6，两式相减得：4a·b＝4，即a·b＝1.答案 114.在△ABC中，已知·(－)＝4，·＝－12，则|－|＝________.解析 由·(－)＝4得·＝4，又·－·＝||2＝16得||＝4，5\n故|－|＝||＝4.答案 415.已知向量p＝(2，－1)，q＝(x，2)，且p⊥q，则|p＋λq|的最小值为________.解析 p·q＝(2，－1)·(x，2)＝2x－2＝0，从而x＝1，∴p＋λq＝(2，－1)＋λ(1，2)＝(2＋λ，2λ－1)，|p＋λq|＝＝≥，∴最小值为.答案 16.圆O为△ABC的外接圆，半径为2，若＋＝2，且||＝||，则向量在向量方向上的投影为________.解析 ∵＋＝2，∴O是BC的中点，故△ABC为直角三角形，在△AOC中，有||＝||，∴∠B＝30°.由定义，向量在向量方向上的投影为||cosB＝2×＝3.答案 35
