星期六 (综合限时练) 2022年____月____日解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟.)1.(本小题满分12分)已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.(1)证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式.(1)证明 (an＋1－1)(an－1)＝3[(an－1)－(an＋1－1)]，∴－＝，即bn＋1－bn＝，∴{bn}是等差数列.(2)解 ∵b1＝1，∴bn＝n＋，an－1＝，∴an＝.2.(本小题满分12分)△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，D，E分别是边AC和AB的中点，现将△ADE沿DE折起，使平面ADE⊥平面DEBC，H是边AD的中点，平面BCH与AE交于点I.(1)求证：IH∥BC；(2)求三棱锥A－HIC的体积.(1)证明 因为D，E分别是边AC和AB的中点，所以ED∥BC，因为BC⊂平面BCH，ED⊄平面BCH，所以ED∥平面BCH.因为ED⊄平面BCH，ED⊂平面AED，平面BCH∩平面AED＝HI，6\n所以ED∥HI，又因为ED∥BC，所以IH∥BC.(2)解 因为VA－HIC＝VC－AHI，S△AIH＝×1×1＝，高CD＝2，所以V＝××2＝.3.(本小题满分12分)研究表明，应届大学生在择业过程中对工作的满意程度与“薪资收入”、“发展前景”、“工作时间”这三项指标相关.现将这三项指标的满意度分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不满意，1表示基本满意，2表示满意，再用综合指标w＝x＋y＋z的值评定应届大学生对工作的总体满意程度，若w≥4，则“相当满意”；若2≤w≤3，则“比较满意”；若0≤w≤1，则“不太满意”，为了了解某大学应届毕业生对一份工作的总体满意程度，研究人员随机采访了某大学的10位应届毕业生，得到如下结果：人员编号A1A2A3A4A5(x，y，z)(2，1，2)(2，1，1)(2，1，2)(1，1，1)(1，2，1)人员编号A6A7A8A9A10(x，y，z)(1，2，1)(1，0，1)(1，2，2)(1，0，0)(1，1，0)(1)若该大学的应届毕业生共计1000人，试估计其中对该工作“比较满意”的人数；(2)从“相当满意”的被采访者中随机抽取两人，求这两人的综合指标w均为4的概率.解 (1)计算10名被采访者的综合指标，可得下表：人员编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10综合指标5453442512由上表可知：“比较满意”的为A4，A7，A10，共3位，其频率为.用样本的频率估计总体的频率，可知对该工作“比较满意”的人数为1000×＝300(人).(2)设事件A为“从‘相当满意’的被采访者中随机抽取两人，他们的综合指标w均为4”.由(1)可知“相当满意”的有：A1，A2，A3，A5，A6，A8，共6位，从中随机抽取两人，所有可能的结果为：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A1，A8}，{A2，A3}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A2，A8}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A3，A8}，{A5，A6}，{A5，A8}，{A6，A8}，共15种，其中综合指标w＝4有：A2，A5，A6，共3名，事件A发生的所有可能结果为：{A2，A5}，{A2，A6}，{A5，A6}，共3种.所以P(A)＝＝.6\n4.(本小题满分12分)如图，抛物线C1：y2＝2px与椭圆C2：＋＝1在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，△OAB的面积为.(1)求抛物线C1的方程；(2)过A点作直线l交C1于C，D两点，求△OCD面积的最小值.解 (1)因为△OAB的面积为，所以yB＝，代入椭圆方程得B，抛物线的方程是y2＝8x.(2)直线CD斜率不存在时，S△OCD＝16；直线CD斜率存在时，设直线CD方程为y＝k(x－4)，代入抛物线得ky2－8y－32k＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝－32，∴|y1－y2|＝＝8，S△OCD＝π·OA·|y1－y2|＝16>16，综上，S△OCD最小值为16.5.(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax2lnx＋b(x－1)(x>0)，曲线y＝f(x)过点(e，e2－e＋1)，且在点(1，0)处的切线方程为y＝0.(1)求a，b的值；(2)证明：当x≥1时，f(x)≥(x－1)2；(3)若当x≥1时，f(x)≥m(x－1)2恒成立，求实数m的取值范围.(1)解 f′(x)＝2axlnx＋ax＋b，∵f′(1)＝a＋b＝0，f(e)＝ae2＋b(e－1)＝e2－e＋1，∴a＝1，b＝－1.(2)证明 f(x)＝x2lnx－x＋1.6\n设g(x)＝x2lnx＋x－x2(x≥1)，g′(x)＝2xlnx－x＋1，(g′(x))′＝2lnx＋1>0，∴g′(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴g′(x)≥g′(1)＝0，∴g(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴g(x)≥g(1)＝0.∴f(x)≥(x－1)2.(3)解 设h(x)＝x2lnx－x－m(x－1)2＋1，h′(x)＝2xlnx＋x－2m(x－1)－1，由(2)知x2lnx≥(x－1)2＋x－1＝x(x－1)，∴xlnx≥x－1，∴h′(x)≥3(x－1)－2m(x－1).①当3－2m≥0即m≤时，h′(x)≥0，∴h(x)在[1，＋∞)单调递增，∴h′(x)≥h(1)＝0成立.②当3－2m<0即m>时，h′(x)＝2xlnx＋(1－2m)(x－1)，(h′(x))′＝2lnx＋3－2m，令(h′(x))′＝0，得x0＝e>1，当x∈[1，x0)时，h′(x)<h′(1)＝0，∴h(x)在[1，x0)上单调递减，∴h(x)<h(1)＝0不成立.综上，m≤.6.请同学从下面所给三题中选定一题作答A.(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BA和CD相交于点P，＝，＝.(1)求的值；(2)若BD为⊙O的直径，且PA＝1，求BC的长.6\n解 (1)由∠PAD＝∠PCB，∠P＝∠P，则△PAD∽△PCB.∴＝＝，设PA＝x，PD＝y，则有＝⇒y＝x，所以＝＝.(2)由(1)及题设得∠C＝90°，PA＝1，PC＝2，BC＝2.B.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是(t是参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程ρ＝2cos.(1)判断直线l与曲线C的位置关系；(2)设M为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围.解 (1)直线l的普通方程为x－y＋4＝0，曲线C的直角坐标系下的方程为＋＝1，圆心到直线x－y＋4＝0的距离为d＝＝5>1，所以直线l与曲线C相离.(2)设M，则x＋y＝cosθ＋sinθ＝sin∈[－，].C.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x＋1|－|x|－2.(1)解不等式f(x)≥0；(2)若存在实数x，使得f(x)≤|x|＋a，求实数a的取值范围.解 (1)①当x≤－时，－1－2x＋x≥2⇒x≤－3，所以x≤－3；②当－<x<0时，2x＋1＋x≥2⇒x≥，6\n所以解集为∅；③当x≥0时，2x＋1－x≥2⇒x≥1，所以x≥1.综合①②③不等式的解集为(－∞，－3]∪[1，＋∞).(2)|2x＋1|－2|x|≤2＋a⇒－|x|≤1＋，由绝对值的几何意义，故|x＋|－|x|∈，只需－≤1＋⇒a≥－3.6
